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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also die Matrix lautet:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
und ich möchte dazu die Inverse Matrix bestimmen (ich bekomme Ergebnisse, die nicht stimmen können).
Die Determinante der Matrix ist -2 oder ?
Nun muss ich ja fuer alle Werte die Adjunkten (?) bestimmen.
Fuer adj(-1) bekomme ich 3 raus -1²*(1*1-1*-2)
adj(0) -1³ (2*1--2*1)= - 4
.... und das kann ja schon nicht stimmen, weil wenn ich nachher
1/detA also 1/-2 * 3 rechne, kommt ja nicht 1 raus aber es muss ja die Einheitsmatrix rauskommen.
Also irgendwas mahe ich falsch, ich finde nur nicht meinen Fehler.
Danke
LG
Pia
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So ne ähnliche Aufgabe hatte ich auch auf. Nur mit der Nullmatrix als Ziel.
wenn du keine passenden Ansätze machs zu Fuß mithilfe eines Stinknormalen Gleichungssystems.
du weist ja was Rauskommen soll und kannst dann mit den Skalarprodunkten der Zeile Matrix1*Spalte Matrix2 ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen Aufstellen. So kommst du sicher auf das Ergebnis
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Hallo,
du danke fuer deine Antwort, aber ich weiß garnicht, was du meinst ;).
Also wir hatten nur diese Art zum ausrechnen der Inversenmatrix, und ich weiß garnicht, wie man das anders machen kann.
Vielleicht kannst du mir ja noch mal helfen,.
Danke LG
Pia
Weiß du/jemand ob man soetwas auch mit dem CAS machen kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 So 23.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Pia!
Erst einmal möchte ich dich hier hin verwiesen; dort habe ich gestern erklärt, wie man die Inverse einer Matrix schnell über einfache Zeilenumformungen erhalten kann.
Da du aber nach der Inversenbestimmung über die Adjunkte fragtest, möchte ich darauf auch noch eingehen:
Ist $A$ reguläre [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix, dann definieren wir die Adjunkte [mm] $\tilde{A}=(\tilde{a})_{ij}$ [/mm] zu $A$ über [mm] $\tilde{a}_{ij} [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} \vert A(j,i)\vert [/mm] $, wobei [mm] $\vert A(j,i)\vert [/mm] $ die Determinante der [mm] $(n-1)\times [/mm] (n-1)$ Matrix ist, die wir aus $A$ durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten Spalte erhalten. So, man kann nun zeigen (wenn du willst [ich kann es dir empfehlen!], dann versuche es doch einmal selbst - es ist nicht ganz einfach, aber es wird dir sicher viel nützen und dich üben, wenn du es versuchst - ich helfe dir auch gerne dabei, denn ich habe es zu Zeiten, als ich über die Adjunkte las und kein Beweis der folgenden Aussage im Skript zu funden war, auch selbst hergeleitet), dass [mm] $A\cdot \tilde{A}=det(A) [/mm] E$ gilt. Es ist also [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{det(A)} \tilde{A}$.
[/mm]
Am besten, ich demonstriere dir dies einmal an deinem konkreten Beispiel für $ [mm] A=\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] $: es ist
[mm] $\tilde{a}_{11}=(-1)^{1+1} \vmat{1 & -2 \\ 1 & 1}=3$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{21}=(-1)^{2+1} \vmat{2 & -2 \\ 1 & 1}=-4$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{31}=(-1)^{3+1} \vmat{2 & 1 \\ 1 & 1}=1$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{12}=(-1)^{1+2} \vmat{0 & 1 \\ 1 & 1}=1$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{22}=(-1)^{2+2} \vmat{-1 & 1 \\ 1 & 1}=-2$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{32}=(-1)^{3+2} \vmat{-1 & 0 \\ 1 & 1}=1$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{13}=(-1)^{1+3} \vmat{0 & 1 \\ 1 & -2}=-1$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{23}=(-1)^{2+3} \vmat{-1 & 1 \\ 2 & -2}=0$,
[/mm]
[mm] $\tilde{a}_{33}=(-1)^{3+3} \vmat{-1 & 0 \\ 2 & 1}=-1$,
[/mm]
also
[mm] $\tilde{A}=\pmat{3 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1}$.
[/mm]
Und tatsächlich: es ist [mm] $A\cdot\tilde{A}=-2 E=det(A)\cdot [/mm] E$, also ist [mm] $\frac{1}{2} \tilde{A}=\frac{1}{2}\pmat{3 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1}$ [/mm] die Inverse zu $A$.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi Hanno,
danke dir fuer deine außfhrliche Antwort :).
Also ich habe ja dann doch alles richtig gemacht, aber ich dachte eigentlich immer, dass wenn man dann die 1/detA * A ausrechnet, dass dann die Einheitsmatrix rauskommen muss. Muss es also doch nicht oder ?
Danke
Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 23.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Pia!
Nein, keinesfalls! [mm] $\frac{1}{det(A)}$ [/mm] ist ja ein Skalar. Wenn [mm] $\frac{1}{det(A)}\cdot [/mm] A$ die Einheitsmatrix wäre, stünden auf der Hauptdiagonalen ja nur die Werte $det(A)$ und alle übrigen Elemente wären 0 - das kann ja nicht sein ;)
Liebe Grüße,
Hanno
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