invertierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 16.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Angabe : Der Gruppenkern von (P(M), [mm] \cup) [/mm] ist durch { [mm] \emptyset} [/mm] gegeben.
OK das neutrale Element bei diesem Bsp. ist doch [mm] \emptyset, [/mm] oder?
So und nun überprüfe ich ob das Ganze invertierbar ist oder nicht.
also sei a [mm] \in [/mm] P(M) : suche b [mm] \in [/mm] P(M) mit Eigenschaft
a [mm] \cup [/mm] b = [mm] \emptyset
[/mm]
Wieso ist b = { [mm] \emptyset}
[/mm]
Wenn ich jetzt z.b. {1} [mm] \cup [/mm] b { [mm] \emptyset} [/mm] verieinge kommt doch {{1} ,{ [mm] \emptyset}} [/mm] heraus und nicht [mm] \emptyset, [/mm] oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 16.01.2005 | | Autor: | Reaper |
M sei eine nicht-leere Menge. Der Gruppenkern von ( [mm] M^{M}, \circ) [/mm] besteht genau aus der Menge [mm] S_{M} [/mm] aller bijektiven Abbildungen von M in sich.
Also einmal ist bei [mm] M^{M} [/mm] das neutrale Element [mm] id^{M}, [/mm] oder?
So und jetzt weiß ich nciht weiter, wie ich das invertierbare Element finden soll. Kann mir bitte wer weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Das neutrale Element ist gerade die identische Abbildung
[mm] $id_M [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} M & \to & M \\[5pt] x & \mapsto & x \end{array}$,
[/mm]
aber das meintest du vermutlich auch.
Hat man nun eine bijektive Abbildung
$f:M [mm] \to [/mm] M$,
so existiert eben nach Voraussetzung eine Umkehrabbildung
[mm] $f^{-1} [/mm] : M [mm] \to [/mm] M$,
eben weil $f$ bijektiv ist. Angeben kann man die nicht konkreter, höchstens so:
[mm] $f^{-1}(y) [/mm] :=x$,
wobei $x [mm] \in [/mm] M$ das eindeutig bestimmte Element $x [mm] \in [/mm] M$ ist mit $f(x)=y$.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 16.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
wenn du zwei mengen $a, b [mm] \in \mathcal{P}(M)$ [/mm] vereinigst, gilt doch [m] b \subseteq a \cup b [/m] wenn du nun willst, dass die vereinigung die leere menge ist, so muss doch gelten [m] b \subseteq a \cup b = \emptyset [/m], also auch - wenn du den mittleren term weglässt: [m] b \subseteq \emptyset [/m] und was für mengen [m] b \in \mathcal{P}(M) [/m] erfüllen den diese bedingung?
daraus kannst du dann folgern, das es nur ein invertierbares element gibt.
mache dir solche sachverhlate am besten immer an einem beispiel klar, wenn du nich weiterkommst. wähle z.b. [m] M = \{1, 2, 3\} [/m] wie sieht dann [m] \mathcal{P}(M) [/m] aus?
grüße
andreas
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