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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v1; : : : ; vn) und sei R [mm] \in GL_{n} [/mm] (K) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie: Dann gibt es eine eindeutige Basis T von V so dass gilt
[mm] [idV]^{T}_{B} [/mm] = R: |
Guten Morgen,
ich komme hier nicht zurecht, weil ich mir nicht vorstellen kann, was genau hier praktisch passiert. Ich habe dann zwei Basen, von denen ich eine bestimmen soll, durch die mal die Matrix B darstellen kann? Und wie komme ich mit diesen allgemeinen Angaben auf eine bestimmte/eindeutige Basis?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen und einen Tipp oder so geben kann
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> [mm][mm] [idV]^{T}_{B}
[/mm]
Hallo,
kannst Du sicherheitshalber noch sagen, wie das da oben definiert ist?
Es gibt für diese Basisgeschichten so viele verschiedene Schreibweisen.
Gruß v. Angela
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Hu, leider bin ich mir da selbst nicht sicher, ich nahm an, dass das bedeutet, dass es die Identität von V ist mit diesen beiden Basen. Aber ich tippe hier mal, was in unserem Skript steht, als diese Schreibweise das erste Mal auftauchte:
Seien S, T,R Basen von K-Vektorräumen U, V,W und sind f : U -> V g : V -> W linear, so gilt:
(i) [g [mm] \circ f]^{R}_{S} [/mm] = [mm] [g]^{R}_{T} [f]^{T}_{S}
[/mm]
(ii) [mm] [id_{V} ]^{T}_{T}= I_{n}, [/mm] ^n = dim
Insbesondere gilt für jeden Isomorphismus f : V -> W
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 19.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Jessica!
> Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v1; : : : ; vn) und
> sei R [mm]\in GL_{n}[/mm] (K) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie:
> Dann gibt es eine eindeutige Basis T von V so dass gilt
> [mm][idV]^{T}_{B}[/mm] = R:
> ich komme hier nicht zurecht, weil ich mir nicht vorstellen
> kann, was genau hier praktisch passiert. Ich habe dann zwei
> Basen, von denen ich eine bestimmen soll, durch die mal die
> Matrix B darstellen kann? Und wie komme ich mit diesen
> allgemeinen Angaben auf eine bestimmte/eindeutige Basis?
Nimm mal den 1dimensionalen VR [mm] \IR. [/mm] Die gegebene Matrix ist dann eine Zahl (b), die gegebene Basis, die als Index unten steht, auch: z. B. a. Das Bild von r*a ist dann br*x. Wenn r*a auf r*a abgebildet werden soll, muß also r*a = br*x sein oder x = a/b. Ich muß das Inverse von (b) auf a anwenden. Versuch das mal, auf deinen etwas allgemeineren Kram zu übertragen, Angela hilft dir, ich gehe offline.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
erstmal Danke für dieses Beispiel.
Hm, ich glaube ich habe verstanden, was du mir sagen willst, aber nicht, wie ich das dann auf meine Aufgabe anzuwenden habe ?
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Hallo,
Du könntest folgendes tun:
Sei [mm] R^{-1}:=(a_i_k).
[/mm]
Def. eine Familie v. Vektoren [mm] T:=(t_1, [/mm] ... [mm] t_n) [/mm] wie folgt:
[mm] t_i=a_1_iv_1+a_2_iv_2+...a_n_iv_n=\vektor{a_1_i \\ a_2_i\\\vdots\\a_n_i}_B
[/mm]
Begründe, daß das eine Basis ist.
Zeige, daß
[mm] R^{-1}= [idV]^{B}_{T} [/mm]
Nun mußt Du Dir überlegen, daß R= [mm] [idV]^{T}_{B}.
[/mm]
Dann noch über die Eindeutigkeit nachdenken. Warum kann es keine weitere Basis T' geben, die's tut?
Gruß v. Angela
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> die gegebene Basis, die als Index unten
> steht
Das wollte ich wissen!
Gruß v. Angela
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