invertierbare Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mo 08.06.2009 | | Autor: | anna99 |
| Aufgabe | Man zeige, dass eine 2×2-Matrix
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
genau dann invertierbar ist, wenn ad−bc [mm] \not= [/mm] 0.
Wie lautet das entsprechende Kriterium für 1 × 1-Matrizen? |
Komme hier nicht weiter und vor allem was sind 1 x 1 Matrizen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 08.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo anna99,
> Man zeige, dass eine 2×2-Matrix
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> genau dann invertierbar ist, wenn ad−bc [mm]\not=[/mm] 0.
> Wie lautet das entsprechende Kriterium für 1 ×
> 1-Matrizen?
> Komme hier nicht weiter
was macht dir denn Probleme? Welche Kenntnisse hast du? Kennst du den Zusammenhang zwischen Invertierbarkeit einer Matrix, deren Rang und Determinante? Dann bringe diese Begriffe mit ein in deine Überlegung...
> und vor allem was sind 1 x 1 Matrizen?
eine [mm] 1\times{1} [/mm] -Matrix ist eine Zahl. Was muss für eine Zahl a gelten, sodass ein b mit [mm] a\cdot{b}=1 [/mm] existiert?
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 08.06.2009 | | Autor: | anna99 |
muss ich dann auch 2 richungen zeichen:
I) Wenn ad-bc != 0 ist, dann ist die Matrix invertierbar.
II) Wenn die Matrix invertierbar ist, dann ist ad-bc != 0 ???
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Ja,
wenn du eine "genau dann wenn" Formulierung hast, dann muss es in beide Richtungen gelten.
Hier kommst du aber vielleicht mit einer Rechnung aus, etwa so:
A invertierbar [mm] \gdw \exists A^{-1} [/mm] mit [mm]A^{-1}*A=E[/mm] (E Einheitsmatrix) [mm] \gdw [/mm] ... ... ... usw. und am Ende steht eben diese Bedingung.
Das müsste gehen, denn das ganze läuft ja auf die Lösung eines Gleichungssystems heraus, und da kann man eigentlich schön diese Äquivalenzumformungen machen, die in beide Richtungen möglich sind.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 08.06.2009 | | Autor: | anna99 |
aber wie beweise ich das jetzt? determinanten hatten wir noch gar nicht
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Hallo,
wenn ihr Determinanten noch nicht hatten, dann rechne die Inverse "zu Fuß" aus. Schreibe also:
[mm] \pmat{ a & b &|& 1&0\\ c & d&|&0&1 }
[/mm]
und forme dies so um, dass links die Einheitsmatrix steht; auf der rechten Hälft steht dann die Inverse.
Guß Patrick
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Hallo,
wenn du das einmal sauber rausbekommen willst, musst du nur ein Lineares Gleichungssystem lösen. Dazu musst du nur wissen, wie man Matrizen multipliziert. Wenn du das auch noch nicht gemacht hast, ist die Aufgabe sinnlos.
Du suchst die Inverse Matrix, die ja auch 4 Einträge haben muss:
[mm]\pmat{ x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 }*\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Dies ergibt 4 Gleichungen:
[mm]a*x_1+c*x_2 = 1[/mm]
[mm]b*x_1+d*x_2 = 0[/mm]
[mm]a*y_1+c*y_2 = 0[/mm]
[mm]b*y_1+d*y_2 = 1[/mm]
Das sind im Grunde 2 getrennt lösbare LGS mit jeweils 2 Variablen.
Wenn du das jetzt z.B. mit dem Additionsverfahren löst, bekommst du für die ersten beiden Gleichungen so etwas wie:
[mm]a*x_1+c*x_2 = 1 \,| * (-b)[/mm]
[mm]b*x_1+d*x_2 = 0 \,| *a[/mm]
-------------------------------------------- addieren
[mm](-bc+ad)*x_2 =- b [/mm]
Für ein beliebiges b kann das nur dann funktionieren, wenn man jetzt durch die Klammer dividiert. Deswegen muss die ungleich 0 sein. Natürlich ist das zufällig gerade die Determinante und natürlich bekommst du bei dieser Rechnung auch die über die Determinante beschriebene Inverse Matrix heraus, aber das spielt wirklich keine Rolle und du musst nichts darüber wissen.
In gleicher Weise kannst du jetzt natürlich auch die anderen drei Einträge berechnen.
Die Idee mit den verschiedenen Fällen für a, b, c und d halte ich für zu kompliziert.
Übrigens ist das hier das gleiche wie das, was XPatrickX vorgeschlagen hat, nur einmal ausführlich vorgerechnet.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mo 08.06.2009 | | Autor: | anna99 |
also ich habe mir folgendes überlegt:
es müssen folgende 4 bedingungen erfühlt sein:
1. a oder c ist ungleich 0 (mindestens einer von beiden)
2. b oder d ist ungleich 0 (mindestens einer von beiden)
3. a oder b ist ungleich 0 (mindestens einer von beiden)
4. c oder d ist ungleich 0 (mindestens einer von beiden)
jetzt muss ich alle 4 fälle zeigen oder?
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