invertierbare Matrizen finden < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 22.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Sei [mm] A:=\pmat{ 1&0&2\\ 0&1&1\\2&-1&3 } \in M_3(\IR).
[/mm]
(a) Finden Sie invertierbare Matrizen [mm] S,T\in GL_3(\IR) [/mm] mit
S*A*T = [mm] \pmat{ 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}
[/mm]
(b) Finden Sie Matrizen 0 [mm] \not= [/mm] B [mm] \in M_3(\IR) [/mm] und 0 [mm] \not= [/mm] C [mm] \in M_3(\IR), [/mm] so dass B*A=0 und A*C=0 |
Hey,
zu (a)
um was geht es hier, es geht doch weder um Ähnlichkeit noch um Diagonalisierbarkeit oder? Die Frage ist, wie geh ich da am besten vor, muss ich höchstwahrscheinlich schon über die Diagonalmatrix gehen oder? Aber wie?
zu (b) habe ich leider gar keine Ansätze.
Viele Grüße
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> Sei [mm]A:=\pmat{ 1&0&2\\ 0&1&1\\2&-1&3 } \in M_3(\IR).[/mm]
> (a)
> Finden Sie invertierbare Matrizen [mm]S,T\in GL_3(\IR)[/mm] mit
>
> S*A*T = [mm]\pmat{ 1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}[/mm]
>
> (b) Finden Sie Matrizen 0 [mm]\not=[/mm] B [mm]\in M_3(\IR)[/mm] und 0 [mm]\not=[/mm]
> C [mm]\in M_3(\IR),[/mm] so dass B*A=0 und A*C=0
> Hey,
>
> zu (b) habe ich leider gar keine Ansätze.
>
Schauen wir uns doch mal die Matrixmultiplikation von B*A genau an:
B*A= [mm] \pmat{ b_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33} }*\pmat{ 1&0&2\\ 0&1&1\\2&-1&3 }=\pmat{ b_{11}+2b_{13}& b_{12}-b_{13}& 2b_{11}+b_{12}+3b_{13}\\ b_{21}+2b_{23}& b_{22}-b_{23}& 2b_{21}+b_{22}+3b_{23}\\ b_{31}+2b_{33}& b_{32}-b_{33}& 2b_{31}+b_{32}+3b_{33} }
[/mm]
und das Ganze soll letztlich die Nullmatrix sein.
Nun sieht man auf den ersten Blick schon, dass man [mm] b_{11}= b_{21}= b_{31} [/mm] , [mm] b_{12}= b_{22}= b_{32} [/mm] und [mm] b_{13}= b_{23}= b_{33} [/mm] wählen kann.
Somit muss nur noch das Gleichungssystem:
[mm] b_{11}+2b_{13}=0 [/mm] (I)
[mm] b_{12}-b_{13}=0 [/mm] (II)
[mm] 2b_{11}+b_{12}+3b_{13}=0 [/mm] (III)
gelöst werden.
Für A*C=0 geht das Ganze analog.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Fr 22.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo locke123!
> Sei [mm]A:=\pmat{ 1&0&2\\
0&1&1\\
2&-1&3 } \in M_3(\IR).[/mm]
> (a)
> Finden Sie invertierbare Matrizen [mm]S,T\in GL_3(\IR)[/mm] mit
>
> S*A*T = [mm]\pmat{ 1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0}[/mm]
> zu (a)
> um was geht es hier, es geht doch weder um Ähnlichkeit
> noch um Diagonalisierbarkeit oder? Die Frage ist, wie geh
> ich da am besten vor, muss ich höchstwahrscheinlich schon
> über die Diagonalmatrix gehen oder? Aber wie?
Finde eine invertierbare Matrix S so, dass [mm]S\cdot A\cdot S^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\
0&\lambda_2&0\\
0&0&0\end{pmatrix}[/mm] (ein Eigenwert ist 0). Multipliziere dann von rechts [mm]P=\begin{pmatrix}\frac 1\lambda_1&0&0\\
0&\frac 1\lambda_2&0\\
0&0&1\end{pmatrix}[/mm], dann ist [mm]T=S^{-1}\cdot P[/mm] die andere gesuchte Matrix. (Dass T invertierbar ist, ist zwar offensichtlich, sollte aber irgendwo erwähnt/gezeigt werden)
Lieben Gruß,
Fulla
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