isolierte Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Di 13.01.2009 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils Art und Lage sämtlicher isolierter Singularitäten der folgenden Funktioen:
(a) [mm] f(z)=\bruch{z}{z^2-z-12}
[/mm]
(b) [mm] f(z)=\bruch{1}{\sin({\bruch{1}{z}})}
[/mm]
(c) [mm] f(z)=\bruch{\sin{z}-z}{z^3}
[/mm]
(d) [mm] f(z)=\bruch{e^{\bruch{1}{z}}}{(z-1)^2} [/mm] |
Hallo 
Könntet ihr mir sagen, ob meine Lösungen richtig sind?
zu a) Pol von der Ordnung 1 an den Stellen [mm] z_1=4 [/mm] und [mm] z_2=-3
[/mm]
zu b) Pol von der Ordnung 1 an allen Stellen der Form [mm] z_0=\bruch{1}{\pi\IZ}
[/mm]
zu c) [mm] z_0=0 [/mm] ist hebbare isolierte Singularität
zu d) [mm] z_1=1 [/mm] ist Pol der Ordung 2. Bei [mm] z_2=0 [/mm] bin ich mir nicht sicher!! Da es irgendwie weder Pol noch hebbar ist, denke ich das es eine wesentliche isolierte Singularität sein muss, sicher bin ich mir nicht...
Danke für eure Hilfe
LG cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 13.01.2009 | | Autor: | Floyd |
scheint zu stimmen.
zu (d):
[mm] exp(1/z)=\summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!}(1/z)^n=\summe_{t=0}^{-\infty}\bruch{1}{(-t)!}z^t
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wesentliche Singularität [mm] (c_n \not= [/mm] für unendlich viele n<0)
mfg Floyd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 14.01.2009 | | Autor: | cauchy |
> scheint zu stimmen.
>
> zu (d):
>
> [mm]exp(1/z)=\summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!}(1/z)^n=\summe_{t=0}^{-\infty}\bruch{1}{(-t)!}z^t[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] wesentliche Singularität [mm](c_n \not=[/mm] für
> unendlich viele n<0)
>
> mfg Floyd
[mm] c_n [/mm] ungleich was?
[mm] c_n \not= [/mm] 0 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Floyd |
[mm] c_n\not=0
[/mm]
Hauptteil unendlich viele Koeffizienten [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
wesentliche Singularität.
mfg Floyd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mi 14.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie jeweils Art und Lage sämtlicher isolierter
> Singularitäten der folgenden Funktioen:
>
> (a) [mm]f(z)=\bruch{z}{z^2-z-12}[/mm]
>
> (b) [mm]f(z)=\bruch{1}{\sin({\bruch{1}{z}})}[/mm]
>
> (c) [mm]f(z)=\bruch{\sin{z}-z}{z^3}[/mm]
>
> (d) [mm]f(z)=\bruch{e^{\bruch{1}{z}}}{(z-1)^2}[/mm]
> Hallo
>
> Könntet ihr mir sagen, ob meine Lösungen richtig sind?
>
> zu a) Pol von der Ordnung 1 an den Stellen [mm]z_1=4[/mm] und
> [mm]z_2=-3[/mm]
O.K.
>
> zu b) Pol von der Ordnung 1 an allen Stellen der Form
> [mm]z_0=\bruch{1}{\pi\IZ}[/mm]
O.K.
Beachte aber: [mm] z_0 [/mm] = 0 ist keine isolierte Sing. von f, sondern was ?
Antwort: [mm] z_0 [/mm] = 0 ist Warschau ( ein Häufungspunkt von Polen) Ja, ja, ich weiß:nicht besonders witzig
>
> zu c) [mm]z_0=0[/mm] ist hebbare isolierte Singularität
>
O.K.
> zu d) [mm]z_1=1[/mm] ist Pol der Ordung 2. Bei [mm]z_2=0[/mm] bin ich mir
> nicht sicher!! Da es irgendwie weder Pol noch hebbar ist,
> denke ich das es eine wesentliche isolierte Singularität
> sein muss, sicher bin ich mir nicht...
Hat Floyd schon erledigt
FRED
>
> Danke für eure Hilfe
>
> LG cauchy
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 So 25.01.2009 | | Autor: | Phecda |
hi
ich mach das uach grade könnt ihr mir erklären wie man herausfindet was was ist?
also obs hebbar ist oder pol?
also ich weißf ist beschränkt um die sing, dann ist es hebbar bzw. f geht gegen unendlich dann ist es ein pol aber wie kann ich das prüfen? bzw. bei 0/0?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 27.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 25.01.2009 | | Autor: | Phecda |
hi
und kennt ihr noch ein bsp für eine wesentlich isolierte singularitäte auser exp(1/z)?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei f eine ganze Funktion, und f sei kein Polynom. Dann hat f um 0 die Potenzreihenentwicklung
$f(z) = [mm] \summe_ {n=0}^{\infty}a_nz^n$
[/mm]
wobei [mm] a_n \not= [/mm] 0 für unendlich viele n ist.
Dann hat $g(z) = f(1/z)$ in 0 eine wesentliche Singularität.
Damit hast Du jede Menge Beispiele !
FRED
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