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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Bestimme Lage und Art der isolierten Singularitäten in [mm] \IC [/mm] sowie die Ordnung bei Polen.
a) [mm]f(z) := (z^{2}+1)(z^{4}+1)^{-1}[/mm]
b) [mm]f(z) := z*(\cot(z))^{2}[/mm]
c) [mm]f(z) := (z-1)^{k}(z^{k}-1)^{-k}, k \in \IN[/mm] |
Hi,
die oben stehenden Aufgaben hatte ich in der letzten Prüfung und hab dabei leider alles falsch gemacht.
Für die (mündlichen) Nachholprüfung weiß ich jedoch, dass ich sehr ähnliche Aufgaben wie diese hier vorrechnen muss.
Kann mir jemand ausführlich erklären wie ich diese Aufgaben lösen kann, bzw. was ich bei meinen Lösungen falsch oder unsauber gemacht hab?
Folgendes hab ich probiert, jedoch bin ich mir nirgends wirklich sicher:
Aufgabe a) würde ich so lösen:
[mm]f(z) = \bruch{z^{2}+1}{z^{4}+1}[/mm]
Für eine isolierte Singularität müsste gelten:
[mm]z^{4} + 1 = 0[/mm]
Das ist jedoch für kein [mm]z \in \IC[/mm] möglich, deshalb existiert keine isolierte Singularität.
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Für Aufgabe b) würde ich es so versuchen:
[mm] f(z) = z * (\bruch{\cos(z)}{\sin(z)})^{2} = \bruch{z * \cos^{2}(z)}{sin^{2}(2)}[/mm]
Daher muss für eine isolierte Singularität gelten:
[mm]\sin^{2}(z) = 0[/mm]
und das ist der Fall für [mm]z = k*\pi, k \in \IZ[/mm].
Jetzt weiß ich nur nicht wie ich weiter argumentieren soll, bzw. überhaupt was raus kommt. Hat das jetzt etwas mit einem Häufungspunkt zu tun und deshalb gibt es keine isolierte Singularität?
Wie kann man hier argumentieren?
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Zu Aufgabe c) würde ich folgendes probieren:
Es ist ja [mm]f(z) := (z-1)^{k}(z^{k}-1)^{-k} = \bruch{(z-1)^{k}}{(z^{k}-1)^{k}}[/mm]
Das heißt, [mm](z^{k}-1)^{k}[/mm] muss 0 werden, damit es eine isolierte Singularität geben kann.
Das ist entweder der Fall für z = 1 und für alle [mm]k \in \IN[/mm] oder falls z = -1 und k gerade ist.
Für z = 1 ergibt sich jedoch:
[mm] f(z) = \bruch{(1 - 1)^{k}}{(1 - 1)^{k}}[/mm], also eine hebbare Singularität mit [mm]f(1) = 1[/mm] für alle k.
Für den zweiten Fall, also bei z = -1 und k gerade, ergibt sich ein Pol k-ter Ordnung. Wie ich das "mathematisch" korrekt begründen kann, weiß ich nur leider nicht.
Danke,
Jonas
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Hallo!
ZUmindest ein keiner Tipp, der für die erste Aufgabe gilt, aber auch in der letzten anwendbar ist.
[mm] $z^4+1=0$ [/mm] bzw [mm] $z^4=-1$
[/mm]
hat sehr wohl Lösungen!
Eine komplexe Zahl kann doch auch mittels Betrag und Winkel dargestellt werden: [mm] $z=|z|*e^{i\phi}=|z|*(\cos(\phi)+i\sin(\phi))$
[/mm]
Multiplikation heißt nun, daß die Beträge multipliziert und die Winkel addiert werden
-1 entspricht also [mm] 1*e^{i*\pi} [/mm] (Halbkreis)
Wenn das jetzt die vierte Potenz von z sein soll, hat z den Winkel [mm] $\pi [/mm] /4$.
Das kannst du einsetzen und erhälst: [mm] $z=1*e^{i(\pm \pi /4)}=\frac{\wurzel{2}}{2}\pm i*\frac{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] (Beachte: sin(45°)=cos(45°) läßt sich durch diesen Bruch darstellen!)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:16 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ein kleiner Flüchtigkeitsfehler: [mm]z^4+1[/mm] hat 4 mögliche Lösungen [mm]\pm\bruch{\sqrt{2}}{2}\pm i\bruch{\sqrt{2}}{2}[/mm], denn [mm]-1=\mathrm{e}^{i(\pi+2k\pi)}[/mm] für beliebiges [mm]k\in\IZ[/mm].
Darus folgt dann [mm]z=1*e^{i( \pi /4+k/2 \pi)} = \pm\bruch{\sqrt{2}}{2}\pm i\bruch{\sqrt{2}}{2}[/mm].
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
danke. schon wieder was wichtiges gelernt :)
Also wäre dann folgende Lösung für Aufgabe a) so richtig?
[mm]f(z) = \bruch{z^{2} + 1}{z^{4} + 1}[/mm]
Daraus folgt, dass [mm]z^{4} = -1[/mm] sein muss.
[mm] -1 = 1 * e^{i*\pi} = z^{4}[/mm]
[mm]\Rightarrow z_{0} = e ^{i*(\pm \bruch{\pi}{4})}[/mm]
[mm]\Rightarrow z_{0} = \cos(\pm \bruch{\pi}{4}) + i*\sin(\pm \bruch{\pi}{4})[/mm]
[mm]\Rightarrow z_{0} = \bruch{1}{\wurzel{2}} \pm i*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Also gibt es eine isolierte bei [mm]z_{0}[/mm].
Jetzt muss noch überprüft werden ob es ein Pol oder eine hebbare/wesentliche Singularität ist:
Wenn es sich um einen Pol handelt, muss [mm]z^{2} + 1 \not= 0[/mm] bzw. [mm]z^{2} \not= -1[/mm] sein.
Da [mm]z_{0}^{2} = \cos(\bruch{\pi}{2}) \pm i*\sin(\bruch{\pi}{2}) = 0 \pm i*1 \not= -1 [/mm] ist, existiert ein Pol erster Ordnung.
Danke,
Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
okay nur nochmal ob ich das jetzt richtig verstanden hab:
Also ich verwende hier praktisch sowas wie die 4 Einheitswurzeln.
Normalerweise ist die Formel ja [mm]z^{n}=1[/mm] hat als Lösung:
[mm]z_{k} = \cos(\bruch{2*\pi*k}{n}) + i*\sin(\bruch{2*\pi*k}{n}), k \in \{0, .. , n-1\}[/mm]
Da ich aber nicht die Lösungen für [mm]z^{n}=1[/mm] sondern für [mm]z^{n} = -1[/mm] haben will, dreh ich das Ganze einfach um den Winkel [mm]\pi[/mm], so dass dann folgende Formel rauskommt:
[mm]z_{k} = \cos(\bruch{2*\pi*k + \pi}{n}) + i*\sin(\bruch{2*\pi*k + \pi}{n})[/mm]
Damit könnte ich jetzt auch Formel lösen wie [mm]z^{7} = -1[/mm] oder auch [mm]z^{4} = i[/mm] indem ich nicht um [mm]\pi[/mm] weiter rotier, sondern nur um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] usw.
Danke,
Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Danke :)
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonez,
es sind vier Pole erster Ordnung bei [mm]\pm\bruch{1}{\wurzel{2}} \pm i*\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm].
Ansonsten ist die Argumentation richtig.
(Tipp: Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass es vier Nullstellen des Nenners gibt, wenn ich jede mit ihrer Vielfachheit zähle. Daraus folgt, dass die Summe der Ordnungen der Polstellen auch 4 sein muss.)
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonez,
> Für Aufgabe b) würde ich es so versuchen:
> [mm]f(z) = z * (\bruch{\cos(z)}{\sin(z)})^{2} = \bruch{z * \cos^{2}(z)}{sin^{2}(z)}[/mm]
>
> Daher muss für eine isolierte Singularität gelten:
> [mm]\sin^{2}(z) = 0[/mm]
> und das ist der Fall für [mm]z = k*\pi, k \in \IZ[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt weiß ich nur nicht wie ich weiter argumentieren soll,
> bzw. überhaupt was raus kommt. Hat das jetzt etwas mit
> einem Häufungspunkt zu tun und deshalb gibt es keine
> isolierte Singularität?
Na, ein Häufungspunkt kann's schon deswegen nicht sein, weil alle Singularitäten den gleichen endlichen Mindestabstand [mm]\pi[/mm] voneinander haben. Du hast in der Tat unendlich viele isolierte Singularitäten. Das ist nicht weiter überraschend, denn die Winkelfunktionen sind periodisch. Jetzt musst du nur noch die Ordnung der Pole bestimmen. Tipp: Schau dir die Potenzreihenentwicklungdes Sinus um 0 an, dann kannst du ablesen, welche Ordnung die Nullstelle z=0 des Sinus hat. Daraus folgt sofort die Ordnung der Polstelle z=0 von [mm]1/sin^2 [/mm]. Die anderen Polstellen haben die gleiche Ordnung, weil der Sinus eine periodische Funktion ist. Dann musst du nur noch anschauen, wie sich der Zähler verhält.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
hmm... okay, das mit den Häufungspunkten hab ich nicht wirklich so ganz verstanden. Kannst Du mir vielleicht ein Beispiel sagen, wo eine isolierte Singularität keine solche ist, weil sie Häufungspunkt ist?
Mit Potenzreihen hab ich's leider auch noch überhaupt nicht so.
Die Potenzreihe vom Sinus ist aber ja:
[mm] sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} * \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Da kann ich aber leider gar nichts ablesen :(
Ich dachte nur immer, dass sich sin(z) nah bei 0 so verhält wie z, also Ordnung 1 hat und deshalb [mm]sin^{2}(z)[/mm] bei 0 wie [mm]z^{2}[/mm] ist und damit Ordnung 2 hat... ?
Danke,
Jonas
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> Hi,
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> hmm... okay, das mit den Häufungspunkten hab ich nicht
> wirklich so ganz verstanden. Kannst Du mir vielleicht ein
> Beispiel sagen, wo eine isolierte Singularität keine solche
> ist, weil sie Häufungspunkt ist?
>
> Mit Potenzreihen hab ich's leider auch noch überhaupt nicht
> so.
> Die Potenzreihe vom Sinus ist aber ja:
> [mm]sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} * \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Da kann ich aber leider gar nichts ablesen :(
Aber ja doch, Du kannst einen Faktor $z$ aus der Potenzreihe herausziehen:
[mm]\sin(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}[/mm]
Wobei die verbleibende Summe eine analytische Funktion ist für die $z=0$ keine Nullstelle ist. Also ist $z$ eine Nullstelle 1. Ordnung von [mm] $\sin(z)$.
[/mm]
>
> Ich dachte nur immer, dass sich sin(z) nah bei 0 so verhält
> wie z, also Ordnung 1
Stimmt.
> hat und deshalb [mm]sin^{2}(z)[/mm] bei 0 wie
> [mm]z^{2}[/mm] ist und damit [eine Nullstelle der] Ordnung 2 hat...
Richtig.
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