isolierter, innerer- Randpunkt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 30.04.2007 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm] M\subset [/mm] X. Beweisen oder widerlegen:
1)Ein isolierter Punkt von M ist immer ein Randpunkt
2)Jeder innere Punkt von [mm] \overline{M} [/mm] ist ein innerer Punkt von M
[mm] 3)\forall x_{1},x_{2} \in [/mm] X [mm] r_{1},r_{2}\ge [/mm] 0: [mm] B_{r_{1}}(x_{1})\subset B_{r_{2}}(x_{2}) \Rightarrow r_{1}\le r_{2} [/mm] |
hallo,
also bei
1) gibt es Gegenbeispiele oder? ich dachte an die diskrete Metrik aber so sicher bin ich mir da nicht
2)würde ich sagen das das stimmt aus der Definition des Abschlusses oder?
3)was soll das bedeuten es gibt 2 Kugeln die eine ist in der anderen enthalten und hat somit den kleineren Radius. Scheint also zu stimmen, wie würd ich das beweisen?
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Hi,
> Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm]M\subset[/mm] X. Beweisen oder
> widerlegen:
> 1)Ein isolierter Punkt von M ist immer ein Randpunkt
> 2)Jeder innere Punkt von [mm]\overline{M}[/mm] ist ein innerer
> Punkt von M
> [mm]3)\forall x_{1},x_{2} \in[/mm] X [mm]r_{1},r_{2}\ge[/mm] 0:
> [mm]B_{r_{1}}(x_{1})\subset B_{r_{2}}(x_{2}) \Rightarrow r_{1}\le r_{2}[/mm]
>
> hallo,
>
> also bei
> 1) gibt es Gegenbeispiele oder? ich dachte an die diskrete
> Metrik aber so sicher bin ich mir da nicht
richtig, nimm einen diskreten metrischen raum, also zB. [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{Z}$. [/mm] Dann ist automatisch jeder punkt isoliert und muss kein randpunkt sein.
>
> 2)würde ich sagen das das stimmt aus der Definition des
> Abschlusses oder?
haengt von eurer definition ab...  oft wird [mm] $\overline{M}:=M\cup \partial [/mm] M$ definiert. dann folgt die aussage direkt.
>
> 3)was soll das bedeuten es gibt 2 Kugeln die eine ist in
> der anderen enthalten und hat somit den kleineren Radius.
> Scheint also zu stimmen, wie würd ich das beweisen?
nimm dir als beispiel mal die natuerlichen zahlen. (und schau, ob du ein gegenbeispiel findest)
VG
Matthias
![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 01.05.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Also muss jetzt doch noch mal fragen bei der
2. also wenn das die Definition ist. Sieht man ja das M auf jeden Fall in [mm] \overline{M} [/mm] ist. Aber sieht man da auch das wirklich jeder Punkt von [mm] \overline{M} [/mm] auch zu M gehört?
Und bei 3 weiß ich nicht wie ich so ein Beispiel darauf anwenden kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Di 01.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Also muss jetzt doch noch mal fragen bei der
> 2. also wenn das die Definition ist. Sieht man ja das M auf
> jeden Fall in [mm]\overline{M}[/mm] ist. Aber sieht man da auch das
> wirklich jeder Punkt von [mm]\overline{M}[/mm] auch zu M gehört?
Nö, das ist ja auch falsch.
> Und bei 3 weiß ich nicht wie ich so ein Beispiel darauf
> anwenden kann.
Bastele mal mit der diskreten Metrik, gehe da mal verschiedene Bälle durch ...
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Für 2) nimm als Beispiel Q
Bei 3) die Punkte des großen Kreises die normalerweise nicht
im kleineren Kreis wären, sind einfach nicht in unserem Raum enthalten.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Di 01.05.2007 | | Autor: | ttgirltt |
2) Also bei [mm] \IQ [/mm] hatte ich glaube mal gelesen das das Innere leer ist und der Abschluss gehört zu [mm] \IR. [/mm] Also wäre ja durch das Besipiel gezeigt das die inneren punkte von [mm] \IR [/mm] was ja hier der Abschluss ist nicht innerer Punkt von [mm] \IQ
[/mm]
aber das erscheint mir noch recht schwammig oder
3) naja also wenn ich mir hier jetzt mal was vorgebe aus der diskreten Metrik [mm] [1,0]\cup[2,3]
[/mm]
[mm] B_{1}=\{x \in X : |x_{1}-x|\le r_{1}\}=[x_{1}-r_{1},x_{1}+r_{1}]\cap [/mm] X
[mm] B_{2}=[x_{2}-r_{2},x_{2}+r_{2}]\cap [/mm] X
mh aber der widerspruch entsteht bei mir nicht wenn ich [mm] B_{1}\subset B_{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Nimm mal [mm] \IR^{+}
[/mm]
Um 1 lege die Kugel mit radius 1. Wie groß darf die Kugel um [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
sei, damit sie Teilmenge der Kugel um die 1 ist?
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 01.05.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Tut mir ja leid aber noch komm ich nicht so wirklich darauf.
Also bei 2 stimmt das was ich über Q und R da sagte?
Und bei 3
mh mit den Kugeln. Naja es reicht doch wenn die dann nen Radius hat der größer 0 ist und damit sie nicht komplett die andere einnimmt kleiner 1,5
also ein Radius von 1/2 wäre doch okay aber so mit der Aufgabe bring ich das nicht zusammen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
> Tut mir ja leid aber noch komm ich nicht so wirklich
> darauf.
> Also bei 2 stimmt das was ich über Q und R da sagte?
Ja. Der Abschluß von [mm] \IQ [/mm] ist [mm] \IR
[/mm]
> Und bei 3
> mh mit den Kugeln. Naja es reicht doch wenn die dann nen
> Radius hat der größer 0 ist und damit sie nicht komplett
> die andere einnimmt kleiner 1,5
> also ein Radius von 1/2 wäre doch okay aber so mit der
> Aufgabe bring ich das nicht zusammen
Wir suchen ein Kugel die möglischt groß ist. Also die mit radius 1,5 ist
gut. Wir haben nun eine Kugel mit r1=1,5 die Teilmenge ist von
einer Mit radius r2=1, also ist r1 > r2.
komduck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Dankeschön für eure Geduld.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:41 Di 01.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> > 2)würde ich sagen das das stimmt aus der Definition des
> > Abschlusses oder?
>
> haengt von eurer definition ab... oft wird
> [mm]\overline{M}:=M\cup \partial M[/mm] definiert. dann folgt die
> aussage direkt.
Großer Unfug! Ich will das Gegenbeispiel jetzt nicht sofort verraten - aber man kann sich doch mal überlegen, dass man eine Art löchrigen Käse hat ...
SEcki
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