isomorphe Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Ist $ F: V [mm] \to [/mm] W $ ein Isomorphismus, dann gilt $ V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] $ genau dann wenn $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $ . |
Mein Ansatz ist folgender:
Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie linear und auch bijektiv.
Zu zeigen sind zwei Richtungen:
Erste Richtung: Sei $ V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] $. Dann gilt nach Definition der direkten Summe: $ V = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] $ und $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = 0 $.
Zweite Richtung:
Sei $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $. Dann gilt: $ W = [mm] F(U_{1}) [/mm] + [mm] F(U_{2}) [/mm] $ und $ [mm] F(U_{1}) \cap F(U_{2}) [/mm] = 0 $. Das heißt, dass die Schnittmenge der Abbildungen der Unterektorräume U1 und U2 von V leer ist. Somit ist $ [mm] F^{-1}(U_{1}) [/mm] + [mm] F^{-1}(U_{2}) [/mm] = V [mm] \gdw U_{1}+ U_{2} [/mm] = V $. Da der Schnitt der Abbildungen von U1 und U2 leer sind, und F eine bijektive Abbildung ist, ist $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = 0 $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]F: V \to W[/mm] ein Isomorphismus, dann gilt [mm]V = U_{1} \oplus U_{2}[/mm]
> genau dann wenn [mm]W = F(U_{1}) \oplus F(U_{2})[/mm] .
> Mein Ansatz ist folgender:
> Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie linear und
> auch bijektiv.
>
> Zu zeigen sind zwei Richtungen:
> Erste Richtung: Sei [mm]V = U_{1} \oplus U_{2} [/mm]. Dann gilt
> nach Definition der direkten Summe: [mm]V = U_{1} + U_{2}[/mm] und
> [mm]U_{1} \cap U_{2} = 0 [/mm].
Das war schon alles ?? Du mußt zeigen: $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $
>
> Zweite Richtung:
> Sei [mm]W = F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm]. Dann gilt: [mm]W = F(U_{1}) + F(U_{2})[/mm]
> und [mm]F(U_{1}) \cap F(U_{2}) = 0 [/mm]. Das heißt, dass die
> Schnittmenge der Abbildungen der Unterektorräume U1 und U2
> von V leer ist. Somit ist [mm]F^{-1}(U_{1}) + F^{-1}(U_{2}) = V \gdw U_{1}+ U_{2} = V [/mm].
> Da der Schnitt der Abbildungen von U1 und U2 leer sind, und
> F eine bijektive Abbildung ist, ist [mm]U_{1} \cap U_{2} = 0[/mm]
Dieses Geschwafel würde ich als Korrektor nie und nimmer akzeptieren.
Zeige doch geradeheraus: $ V = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] $ und $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] $.
FRED
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>> Erste Richtung: Sei $ V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] $. Dann gilt
>> nach Definition der direkten Summe: $ V = [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] $ und
>> $ [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = 0 $.
>Das war schon alles ?? Du mußt zeigen: $ W = [mm] F(U_{1}) \oplus F(U_{2}) [/mm] $
Natürlich war das noch nicht alles. Das war eben nur der Ansatz, den ich für richtig hielt.
Der Gedanke ist eben folgender: Da die Untervektorräume U1 und U2 addiert V ergeben, und die Abbildung F bijektiv ist sowie der Schnitt von U1 und U2 leer ist, gilt auch F(U1)+F(U2)=W. Da U1 geschnitten U2 = 0 und F bijektiv, ist $ [mm] F(U_1)\capF(U_2) [/mm] = 0 $.
Das ist natürlich wieder "Geschwafel", das als Beweis keineswegs taugt. Aber wie beweist man es denn "geradeheraus"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 11.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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