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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:59 So 11.07.2004 | | Autor: | margarita |
Hallo...
Ich habe noch eine Frage zu folgendem Thema:
Wir definieren[mm] A_n:= \left\{\begin{bmatrix}
1 & 0 &\cdots & 0 \\
a_1 \\
\vdots & S & \\
a_n \\
\end{bmatrix} | \in M[sub]n+1,n+1[/sub](\IR) |S \in GL_n(\IR)\right\}[/mm]
Ich wollte zeigen, dass die Gruppe der affinen Abbildungen [mm] A(\IR^n) [/mm] isomorph ist zu [mm] A_n.
[/mm]
Eine affine Abbildung soll so definiert sein: Eine bijektive Abbildung
g: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] heisst affin, wenn fuer alle x, y [mm] \in \IR^n [/mm] und alle a, b
[mm] \in \IR [/mm] mit a+b=1 gilt: g(ax+bx)=ag(x)+bg(y).
Ich weiss, dass ich einen Isomorphismus finden muss, d.h eine Abbildung [mm] \psi [/mm] : [mm] A(\IR^n) \to A_n, [/mm] die bijektiv ist, und fuer die gilt
[mm] \psi [/mm] (g *A[\IR^n] g' )= [mm] \psi(g) [/mm] *A_n [mm] \psi(g').
[/mm]
Aber leider komme ich da etwas durcheinander. Wie sieht so ein Isomorphismus aus und wie zeigt man dann die zwei Eigenschaften?
Waere sehr dankbar fuer jede Hilfe....
Margarita
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Hallo nochmal!
Ok, hierzu gebe ich etwas Hilfestellung... die Hauptarbeit überlasse ich Dir. 
Zunächst mal Folgendes: angenommen wir haben eine affine Abbildung [mm]g [/mm] mit der zusätzlichen Eigenschaft: [mm] g(0) = 0[/mm].
Dann folgt doch:
[mm]g(ax) = g(ax + b0) = ag(x) + b(g(0) = ag(x)[/mm]
Und zwar für alle reellen Zahlen [mm] a[/mm], da ich für jede solche ein [mm]b \in \IR [/mm] finden kann mit [mm] a + b = 1[/mm].
Außerdem gilt doch:
[mm]g(x + y) = g(\frac{1}{2}(2x) + \frac{1}{2}(2y)) = \frac{1}{2}g(2x) + \frac{1}{2}g(2y) = g(x) + g(y) [/mm]
Nach dem, was wir oben gesehen haben. Mit anderen Worten: [mm] g \in GL_n[/mm], ist also eine lineare Abbildung. Zu dieser gehört eine Matrix [mm]S [/mm]. Wähle in diesem Fall einfach [mm] a_1 = \ldots = a_n = 0[/mm] und schon hast Du eine Abbildung für spezielle [mm] g[/mm].
Nun überlegt man sich folgendes: falls allgemein [mm] g(0) = z [/mm], dann definiere:
[mm] h(x) := g(x) - z[/mm]
Jetzt kann man nachweisen, dass [mm] h[/mm] affin ist (hier geht wichtig ein, dass [mm] a+b = 1[/mm]!!) und kann also ein solches [mm] g[/mm] abbilden auf die Matrix, die den Vektor [mm] z[/mm] in der ersten Spalte stehen hat (mit führender 1) und die Untermatrix ist die zu [mm]h [/mm].
Damit wäre die Abbildung konstruiert. Deine Aufgabe ist es nun zu zeigen, dass diese sich mit der Gruppenabbildung verträgt (wie sieht das Produkt von 2 solchen Matrizen aus? Zeige: es addieren sich die Vektoren links und die Untermatrizen mulitplizieren sich) und dass die Daten in der Matrix die Abbildung eindeutig bestimmen (Bijektivität). Dazu ist es zweckmäßig, wenn Du zwei affine Abbildungen verknüpfen willst, sie in der Form wie oben zu schreiben: eine lineare Abbildung und einen sogenannten "Translationsanteil" (Translation = Verschiebung um einen Vektór, in diesem Fall Addition eines Vektors).
So, der Rest liegt bei Dir! Sollte es Dir wider Erwarten nicht gelingen, das zu zeigen was Du willst, melde Dich nochmal.
Lars
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