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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Do 23.03.2006 | | Autor: | hurdel |
| Aufgabe | Aufgabe
a) Man beschreibe alle Bewegungen f mit f [mm] \circ [/mm] f = id.
b) Sei e [mm] \in [/mm] |E [mm] (\IR^{2} [/mm] Dann ist die Menge der Bewegungen f mit f(a) = a eine zu O(2) isomorphe Gruppe.
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Für 0(2) gilt : O(2):={T ?in : = E}.
Dabei ist E die Einheitsmatrix.
Bewegung ist folgendermassen definiert:
Bewegung f: IE->IE mit |f(x) - f(y)| = |x-y|
schreibe eine wichitge klausur nächste woche und benötige die antwort dafür dringendst. bitte um hilfe. bin völlig aufgeschmissen...
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Hallo und einen guten Morgen,
Bewegungen sind Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen und all das, was durch Hintereinanderausführungen
aus ihnen erhältlich ist. Welche Art von Beschreibung der Menge aller Bewegungen suchst Du denn ? Eine Charakterisierung in Termen der
beschreibenden Matrizen ? Nun, allgemein hat eine Bewegung die Darstellung
Bew(x) = [mm] A\cdot [/mm] (x-a) +b
wobei [mm] a,b\in\IR^2 [/mm] sind und A eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix mit [mm] |\det [/mm] (A)|=1.
Es ist ja [mm] O(2)=\{A\in\IR^{2\times 2}|\;\: \det (A)\in\{-1,1\}\:\}
[/mm]
die orthogonale Gruppe (Spiegelungen, Drehungen um Ursprung, die also den Ursprung (0,0) fix lassen).
SO(2) [mm] =\{A\in\IR^{2\times 2}|\:\:\det (A)=1\} [/mm] ist ja die Menge aller Drehungen um den Ursprung.
Hast Du nun [mm] a\in\IR^2 [/mm] und betrachtest die Menge aller Bewegungen, die a fix lassen, so siehst Du, dass Du diese darstellen kannst in der Form
Bew(x) = [mm] A\cdot [/mm] (x-a) [mm] \:\: +a,\:\: A\in [/mm] O(n).
(Überlegung dazu: Betrachte eine Bewegung [mm] Bew(x)=A\cdot [/mm] (x-a')+b mit [mm] a',b\in\IR^2, [/mm] die a fix lässt. Probieren wir zu zeigen, dass wir dann Bew darstellen können
als Bew(x)=A'(x-a)+a für ein [mm] A'\in [/mm] O(n). Also: Bew lässt a fix, schreiben wir das mal hin:
[mm] A\cdot [/mm] (a-a')+b=a, also A(a-a')= [mm] a-b\:\: (\star)
[/mm]
Nun schreiben wir mal einfach
A(x-a')+b = A(x-a +a-a') +a -a +b
= A(x-a) + a + A(a-a') +b-a
= A(x-a) + a +A(a-a') - A(a-a') (nach [mm] (\star))
[/mm]
= A(x-a) +a
d.h. wir nehmen A=A'.
Kommt also genau hin.  )
Gruss,
Mathias
Gruss,
Mathias
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