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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Vektorwertige Funktionen: Berechnung von Jacobimatrizen
Berechnen Sie die Ableitungen (Jacobimatrizen) der folgenden Funktionen:
(a) a(x, y) = x + y
(b) [mm] \vec{b}(x, [/mm] y, z) [mm] =\pmat{ 1 + ln x \\ x*\wurzel{y} + \wurzel{z}}
[/mm]
(c) [mm] \vec{c}(x) =\vektor{cos x \\ sin x}
[/mm]
(d) [mm] \vec{d} [/mm] := [mm] a\circ \vec{b} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2, [/mm]
[mm] \vec{d}(x,y,z) [/mm] := [mm] a(\vec{b}(x,y,z)) [/mm] |
hallo,
ist die jacobi-matrix von a) einfach (1,1)?
und nach meiner berechnugn wäre b) dann: [mm] \pmat{ 1/x & 0 & 0 \\ \wurzel{y} & x/2\wurzel{y} & 1/2\wurzel{z} }
[/mm]
ich wollte nur wissen ob meine vorgehensweise stimmt, weil ich nicht genau wusste wie ich die vektoren in der matrix anwende..danke im vorraus!
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Hallo cracker,
> Vektorwertige Funktionen: Berechnung von Jacobimatrizen
> Berechnen Sie die Ableitungen (Jacobimatrizen) der
> folgenden Funktionen:
> (a) a(x, y) = x + y
> (b) [mm]\vec{b}(x,[/mm] y, z) [mm]=\pmat{ 1 + ln x \\ x*\wurzel{y} + \wurzel{z}}[/mm]
>
> (c) [mm]\vec{c}(x) =\vektor{cos x \\ sin x}[/mm]
>
> (d) [mm]\vec{d}[/mm] := [mm]a\circ \vec{b}[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR^2,[/mm]
> [mm]\vec{d}(x,y,z)[/mm] := [mm]a(\vec{b}(x,y,z))[/mm]
> hallo,
>
> ist die jacobi-matrix von a) einfach (1,1)?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und nach meiner berechnugn wäre b) dann: [mm]\pmat{ 1/x & 0 & 0 \\ \wurzel{y} & x/2\wurzel{y} & 1/2\wurzel{z} }[/mm]
>
Das stimmt auch.
> ich wollte nur wissen ob meine vorgehensweise stimmt, weil
> ich nicht genau wusste wie ich die vektoren in der matrix
> anwende..danke im vorraus!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
bei aufgabe d) habe ich ja ein skalarprodukt zu berechnen, richtig?
wie sieht dieses dann aus? etwa so:
(x+y) [mm] \circ \vektor{ 1+lnx \\ x\wurzel{y} + \wurzel{z}} [/mm] = [mm] \vektor{ (x+y)(1+lnx) \\ (x+y)(x\wurzel{y} + \wurzel{z})} [/mm] = [mm] \vektor{ x+xlnx+y+ylnx \\ x^2\wurzel{y} + x\wurzel{z} + y\wurzel{y} + y\wurzel{z} }
[/mm]
damit wäre die jacobi matrix:
J = [mm] \pmat{ 1+lnx+1+\bruch{y}{x} & 1+lnx & 0\\ 2x\wurzel{y}+ \wurzel{z}& \bruch{x^2}{2\wurzel{y}}+\wurzel{y}+1+\wurzel{z} & \bruch{x}{2\wurzel{z}} + \bruch{y}{2\wurzel{z}} }
[/mm]
liege ich da richitg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
ich hab hier das x bei [mm] y\wurzel{y} [/mm] vergessen:
(x+y) $ [mm] \circ \vektor{ 1+lnx \\ x\wurzel{y} + \wurzel{z}} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{ (x+y)(1+lnx) \\ (x+y)(x\wurzel{y} + \wurzel{z})} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{ x+xlnx+y+ylnx \\ x^2\wurzel{y} + x\wurzel{z} + yx\wurzel{y} + y\wurzel{z} } [/mm] $
daraus folgt für die jacobimatrix
J = $ [mm] \pmat{ 1+lnx+1+\bruch{y}{x}+ y\wurzel{y} & 1+lnx & 0\\ 2x\wurzel{y}+ \wurzel{z}& \bruch{x^2}{2\wurzel{y}}+x\wurzel{y}+x+\wurzel{z} & \bruch{x}{2\wurzel{z}} + \bruch{y}{2\wurzel{z}} } [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 12.07.2009 | | Autor: | wogie |
Soweit ich das verstanden habe ist
[mm]\vec{d} := a\circ \vec{b} : \IR^3 \to \IR[/mm]
[mm]\vec{d}(x,y,z) := a(\vec{b}(x,y,z))=1+\ln(x) +x*\wurzel{y} + \wurzel{z}[/mm]
davon kannste dann wieder jacobi-matrix ausrechnen. oder du benutzt die Kettenregel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
das verstehe ich jetzt nicht, wie kommst du denn darauf, dass du nur noch die eine zeile dastehn hast? kannst du mir das kurz erläutern?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 12.07.2009 | | Autor: | wogie |
naja des kommt halt davon, dass die zwei abbildungen hintereinander ausführst
[mm]\vec{b} : \IR^3 \to \IR^2[/mm]
und
[mm]a : \IR^2 \to \IR[/mm]
also muss
[mm]\vec{d} := a\circ \vec{b}[/mm]
von [mm] \IR^3 \to \IR[/mm] gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
da steht doch aber nur was von $ [mm] a\circ \vec{b} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] $ und nich ins eindimensionale?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 12.07.2009 | | Autor: | wogie |
Also der Kringel beudeutet laut deiner Angabe wirklich die Hintereinanderausführung der Abbildungen. Evtl. hast du auch einen Tippfehler vor dir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
also bedeutet $ [mm] \vec{d} [/mm] := [mm] a\circ \vec{b} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] $ das selbe wie $ [mm] \vec{d} [/mm] := [mm] a\circ \vec{b} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] $???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 12.07.2009 | | Autor: | wogie |
Nö, wie gesagt, es muss [mm]\vec{d} : \IR^3 \to \IR[/mm] heissen. [mm]\IR^2[/mm] ist falsch.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
naja aber $ [mm] \vec{d} [/mm] := [mm] a\circ \vec{b} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] $ steht in der angabe!
und wie geht das dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 12.07.2009 | | Autor: | wogie |
der, der die angabe geschrieben hat, hat dies vermutlich im vollsuff getan.
du multiplizierst dann einfach die jacobimatrizen aus (a) und (b).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 12.07.2009 | | Autor: | cracker |
wie sieht das dann aus?
(1 1) * [mm] \pmat{ 1/x & 0 & 0 \\ \wurzel{y} & x/\wurzel{y} & 1/2\wurzel{z} } [/mm] = ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mo 13.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> wie sieht das dann aus?
>
> (1 1) * [mm]\pmat{ 1/x & 0 & 0 \\ \wurzel{y} & x/\wurzel{y} & 1/2\wurzel{z} }[/mm]
> = ?
Eine 2 hast Du vergessen und vielleicht nur schlampig geschrieben
(1 1) * [mm]\pmat{ 1/x & 0 & 0 \\ \wurzel{y} & x/(2\wurzel{y}) & 1/(2\wurzel{z}) }[/mm]
FRED
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