jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 05.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] K^6 [/mm] -> [mm] K^6 [/mm] eine nilpotente lineare Abbildung mit ker(f) = im(f). Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von f. |
Hallo, ich bins schon wieder.
Ich hab jetzt ne ganze weile rumgerätselt aber komm einfach nicht drauf was ich mit ker(f)=im(f) anfangen soll.
Der kern besteht ja aus den elementen die auf die null abbilden. wenn das mit dem bild genauso sein soll kann ich mir nur ne 6x6 matrix mit lauter nullen drin vorstellen.
wäre nett wenn mir da evt. jemand nen klaps aufn hinterkopf verpassen könnte der da weiterhilft.
danke im vorraus, die wie immer überfragte Maxi.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal ein beliebiges x aus dem zugrunde gelegten Vektoraum. Dann ist f(x) ein Element in Im(f), also ein Element in kern(f). Somit ist f²(x)=0. Da x beliebig war, folgt was..................................?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 09.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
> Nimm mal ein beliebiges x aus dem zugrunde gelegten
> Vektoraum. Dann ist f(x) ein Element in Im(f), also ein
> Element in kern(f). Somit ist f²(x)=0. Da x beliebig war,
> folgt was..................................?
[mm] f^2(x)=0 [/mm] für alle x. ==>
bin mir gerad nicht sicher, aber in meinem kopf muss f(x) dann bereits jordansche normalform haben, da das ja für alle f mit Im(f)=Ker(f) gelten soll.
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> > Nimm mal ein beliebiges x aus dem zugrunde gelegten
> > Vektoraum. Dann ist f(x) ein Element in Im(f), also ein
> > Element in kern(f). Somit ist f²(x)=0. Da x beliebig war,
> > folgt was..................................?
>
> [mm]f^2(x)=0[/mm] für alle x. ==>
>
> bin mir gerad nicht sicher, aber in meinem kopf muss f(x)
> dann bereits jordansche normalform haben, da das ja für
> alle f mit Im(f)=Ker(f) gelten soll.
Hallo,
Du solltest versuchen, Deine Annahme zu begründen.
Aus einem diffusen Gefühl heraus kann man durchaus eine Behuptung aufstellen. Die gilt es dann jedoch zu verifizieren oder begründet zu verwerfen.
Wie kommst Du darauf, daß f bereits JNF hat?
Was meinst Du überhaupt damit, daß "die Abbildung JNF hat"?
Hast Du Dir schonmal ein Beispiel einer Abbildung mit den geforderten Eigenschaften gebastelt?
Daß es eine Basis gibt, bzgl. derer die Abb. f JNF hat, steht nach Voraussetzung außer Debatte. (Warum?)
Du sollst nun sagen, wie diese JNF aussieht.
Dafür hat Dir Fred den entscheidenden Hinweis gegeben.
Welche Abbildung ist denn nun [mm] f^2? [/mm]
Welche Matrix ist denn die darstellende Matrix v. f mit sich selbst multipliziert?
Also ist das Quadrat der JNF = ???
Nun kannst Du Dir überlegen, wie die JNF nur aussehen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 14.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
> Hallo,
>
> Du solltest versuchen, Deine Annahme zu begründen.
> Aus einem diffusen Gefühl heraus kann man durchaus eine
> Behuptung aufstellen. Die gilt es dann jedoch zu
> verifizieren oder begründet zu verwerfen.
>
> Wie kommst Du darauf, daß f bereits JNF hat?
> Was meinst Du überhaupt damit, daß "die Abbildung JNF
> hat"?
> Hast Du Dir schonmal ein Beispiel einer Abbildung mit den
> geforderten Eigenschaften gebastelt?
>
> Daß es eine Basis gibt, bzgl. derer die Abb. f JNF hat,
> steht nach Voraussetzung außer Debatte. (Warum?)
weil das so in der aufgabenstellung steht!?
> Du sollst nun sagen, wie diese JNF aussieht.
> Dafür hat Dir Fred den entscheidenden Hinweis gegeben.
>
> Welche Abbildung ist denn nun [mm]f^2?[/mm]
Da der ker(f)=Im(f) also ist der kern maximal und [mm] f^2 [/mm] die nullmatrix, oder?!
> Welche Matrix ist denn die darstellende Matrix v. f mit
> sich selbst multipliziert?
> Also ist das Quadrat der JNF = ???
>
> Nun kannst Du Dir überlegen, wie die JNF nur aussehen
> kann.
An der stelle haperts eben doch noch, es müsste doch dann jede mögliche JNF einer 6x6 matrix sein können, oder?
kommt an dieser stelle die dimension ins spiel? wenn ja:
wenn kern gleich bild heißt das das die dimensionen auch gleich sein müssen?
der rang von [mm] a^2 [/mm] also [mm] f^2 [/mm] ist ja null (wenn das oben stimmt), ich krieg es nur nicht hin an dieser stelle auf den rang von A zu kommen...
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
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> > Daß es eine Basis gibt, bzgl. derer die Abb. f JNF hat,
> > steht nach Voraussetzung außer Debatte. (Warum?)
>
> weil das so in der aufgabenstellung steht!?
Hallo,
nee, das ist viiiiiiiel zu platt gedacht.
(Es könnte die Aufgabe ja auch eine Scherzaufgabe sein.
Stell Dir vor, Du hättest das ganze schöne Pfingstwochenende am Schreibtisch gesessen, um die Aufgabe mit der JNF zu bearbeiten, und am Ende lacht einer und sagt: Haha, die darstellende Matrix kann man doch gar nicht in JNF bringen. Das wäre schon sehr ärgerlich. Da hättest Du auch ins Schwimmbad gehen können.
Und falls Dich das nicht so recht überzeugt, beispielsweise weil Euer Team überhaupt nicht zu Scherzen neigt, dann vielleicht dies:
ich bin mir sicher, daß es das erste wäre, wonach gefragt würde, wenn Du Dich in Prüfungen, in Übungen an der Tafel und vergleichbaren Situationen über die Aufgabe hermachst...)
Es hängt mit der Nilpotenz zusammen. Was bedeutet Nilpotenz? Was bedeutet das für das Minimalpolynom?
> > Du sollst nun sagen, wie diese JNF aussieht.
> > Dafür hat Dir Fred den entscheidenden Hinweis gegeben.
> >
> > Welche Abbildung ist denn nun [mm]f^2?[/mm]
>
> Da der ker(f)=Im(f) also ist der kern maximal und [mm]f^2[/mm] die
> nullmatrix, oder?!
Da wir über Abbildungen sprechen, ist genau gesagt [mm] f^2 [/mm] die Nullabbildung, die darstellende Matrix die Nullmatrix.
> > Nun kannst Du Dir überlegen, wie die JNF nur aussehen
> > kann.
>
> An der stelle haperts eben doch noch, es müsste doch dann
> jede mögliche JNF einer 6x6 matrix sein können, oder?
> kommt an dieser stelle die dimension ins spiel? wenn ja:
>
> wenn kern gleich bild heißt das das die dimensionen auch
> gleich sein müssen?
ja, natürlich.
Und da die Summe der Dimensionen 6 ergeben muß (Warum?),
wissen wir, daß der Kern von f die Dimension 3 hat.
Welches sind eigentlich die Eigenwerte von f?
Der Eigenraum hat auch die Dimension 3. (Warum?)
Mit diesem Wissen reduzieren sich die möglichen JNF auf sehr wenige. Die kannst Du dann ja testen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 15.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
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> > > Daß es eine Basis gibt, bzgl. derer die Abb. f JNF hat,
> > > steht nach Voraussetzung außer Debatte. (Warum?)
> >
> > weil das so in der aufgabenstellung steht!?
>
> Hallo,
>
> nee, das ist viiiiiiiel zu platt gedacht.
>
> (Es könnte die Aufgabe ja auch eine Scherzaufgabe sein.
> Stell Dir vor, Du hättest das ganze schöne
> Pfingstwochenende am Schreibtisch gesessen, um die Aufgabe
> mit der JNF zu bearbeiten, und am Ende lacht einer und
> sagt: Haha, die darstellende Matrix kann man doch gar nicht
> in JNF bringen. Das wäre schon sehr ärgerlich. Da hättest
> Du auch ins Schwimmbad gehen können.
> Und falls Dich das nicht so recht überzeugt,
> beispielsweise weil Euer Team überhaupt nicht zu Scherzen
> neigt, dann vielleicht dies:
> ich bin mir sicher, daß es das erste wäre, wonach gefragt
> würde, wenn Du Dich in Prüfungen, in Übungen an der Tafel
> und vergleichbaren Situationen über die Aufgabe
> hermachst...)
>
> Es hängt mit der Nilpotenz zusammen. Was bedeutet
> Nilpotenz? Was bedeutet das für das Minimalpolynom?
hmm ok, habs nochmal nachgeschlagen, wenn ich Nilpotenz gegeben habe muss es ja ne JNF geben. Doch was das fürs Minimalpolynom bedeutet hab ich leider noch nicht verstanden.
>
> > > Du sollst nun sagen, wie diese JNF aussieht.
> > > Dafür hat Dir Fred den entscheidenden Hinweis
> gegeben.
> > >
> > > Welche Abbildung ist denn nun [mm]f^2?[/mm]
> >
> > Da der ker(f)=Im(f) also ist der kern maximal und [mm]f^2[/mm] die
> > nullmatrix, oder?!
>
> Da wir über Abbildungen sprechen, ist genau gesagt [mm]f^2[/mm] die
> Nullabbildung, die darstellende Matrix die Nullmatrix.
>
>
> > > Nun kannst Du Dir überlegen, wie die JNF nur aussehen
> > > kann.
> >
> > An der stelle haperts eben doch noch, es müsste doch dann
> > jede mögliche JNF einer 6x6 matrix sein können, oder?
> > kommt an dieser stelle die dimension ins spiel? wenn ja:
> >
> > wenn kern gleich bild heißt das das die dimensionen auch
> > gleich sein müssen?
>
> ja, natürlich.
>
> Und da die Summe der Dimensionen 6 ergeben muß (Warum?),
weil die abb. linear ist, also gilt dim V = dim Ker V + dim Im V (also 6=3+3)
> wissen wir, daß der Kern von f die Dimension 3 hat.
>
> Welches sind eigentlich die Eigenwerte von f?
Zitat von fred97: "eine Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sie nur den Eigenwert 0 hat"
>
> Der Eigenraum hat auch die Dimension 3. (Warum?)
das ist allerdings ne gute Frage :)
>
> Mit diesem Wissen reduzieren sich die möglichen JNF auf
> sehr wenige. Die kannst Du dann ja testen.
die Dimension des Kerns gibt mir ja die Anzahl der Jordanblöcke vor. Also 3.
das heißt es bleiben die möglichkeiten
A= [mm] J_{2}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{2}(0)
[/mm]
A= [mm] J_{3}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{1}(0)
[/mm]
A= [mm] J_{4}(0) \oplus J_{1}(0) \oplus J_{1}(0)
[/mm]
aber ich kann doch mit keiner der gegebenen Bedingungen ne möglichkeit davon ausschließen, oder seh ich da was nicht?
> Gruß v. Angela
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> >
> > > > Daß es eine Basis gibt, bzgl. derer die Abb. f JNF hat,
> > > > steht nach Voraussetzung außer Debatte. (Warum?)
> > Es hängt mit der Nilpotenz zusammen. Was bedeutet
> > Nilpotenz? Was bedeutet das für das Minimalpolynom?
>
> hmm ok, habs nochmal nachgeschlagen, wenn ich Nilpotenz
> gegeben habe muss es ja ne JNF geben.
Hallo,
ja, natürlich hast Du recht.
> Doch was das fürs
> Minimalpolynom bedeutet hab ich leider noch nicht
> verstanden.
Was bedeutet denn Nilpotenz? Es bedeutet, daß es ein k gibt mit [mm] A^k=0, [/mm] dh. für [mm] p(x):=x^k [/mm] gilt [mm] p(A)=x^k.
[/mm]
Was weißt Du nun übers Minimalpolynom?
Wie sieht es aus und was hat das mit der JNF zu tun?
> > Und da die Summe der Dimensionen 6 ergeben muß (Warum?),
>
> weil die abb. linear ist, also gilt dim V = dim Ker V + dim
> Im V (also 6=3+3)
Vektorräume haben keine Kerne.
Aber ich denke mal, Du meinst, daß für f: V [mm] \to [/mm] W linear gilt: dim V = dim Ker f + dim Im f, und das ist richtig.
> > Welches sind eigentlich die Eigenwerte von f?
>
> Zitat von fred97: "eine Matrix ist genau dann nilpotent,
> wenn sie nur den Eigenwert 0 hat"
Da hat der fred97 sehr recht.
Du kannst es übrigens am Minimalpolynom sehen.
>
> >
> > Der Eigenraum hat auch die Dimension 3. (Warum?)
>
> das ist allerdings ne gute Frage :)
Habe ich je eine schlechte Frage gestellt?
Was ist denn der Eigenraum einer lin. Abb g zum Eigenwert [mm] \lambda?
[/mm]
Es ist der Kern von [mm] g-\lambda [/mm] id
Also ist der Eigenraum von f zum Eigenwert 0 der Kern wovon?
> die Dimension des Kerns gibt mir ja die Anzahl der
> Jordanblöcke vor. Also 3.
>
> das heißt es bleiben die möglichkeiten
>
> A= [mm]J_{2}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{2}(0)[/mm]
> A= [mm]J_{3}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{1}(0)[/mm]
>
> A= [mm]J_{4}(0) \oplus J_{1}(0) \oplus J_{1}(0)[/mm]
>
> aber ich kann doch mit keiner der gegebenen Bedingungen ne
> möglichkeit davon ausschließen, oder seh ich da was nicht?
Ja, Du übersiehst etwas.
Du hattest ja festgestellt, daß [mm] f^2 [/mm] =0 ist
Also ist [mm] A^2=0, [/mm] und für welche der Matrizen das der fall ist, kannst Du ja grad mal eben ausrechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 15.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
> > >
> > > > > Daß es eine Basis gibt, bzgl. derer die Abb. f JNF hat,
> > > > > steht nach Voraussetzung außer Debatte. (Warum?)
>
> > > Es hängt mit der Nilpotenz zusammen. Was bedeutet
> > > Nilpotenz? Was bedeutet das für das Minimalpolynom?
> >
> > hmm ok, habs nochmal nachgeschlagen, wenn ich Nilpotenz
> > gegeben habe muss es ja ne JNF geben.
>
> Hallo,
>
> ja, natürlich hast Du recht.
>
> > Doch was das fürs
> > Minimalpolynom bedeutet hab ich leider noch nicht
> > verstanden.
>
> Was bedeutet denn Nilpotenz? Es bedeutet, daß es ein k gibt
> mit [mm]A^k=0,[/mm] dh. für [mm]p(x):=x^k[/mm] gilt [mm]p(A)=x^k.[/mm]
>
> Was weißt Du nun übers Minimalpolynom?
> Wie sieht es aus und was hat das mit der JNF zu tun?
fürs charakteristische polynom heißt das:
[mm] x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T-\lambda_{i})^{V_{i}}
[/mm]
also wenn [mm] \lambda_{i}=0 [/mm] für alle i
(??? im Kopf) muss T null sein damits null wird?!
vom minimalpolynom hab ich noch nie was gehört...
> > > Und da die Summe der Dimensionen 6 ergeben muß (Warum?),
> >
> > weil die abb. linear ist, also gilt dim V = dim Ker V + dim
> > Im V (also 6=3+3)
>
> Vektorräume haben keine Kerne.
> Aber ich denke mal, Du meinst, daß für f: V [mm]\to[/mm] W linear
> gilt: dim V = dim Ker f + dim Im f, und das ist richtig.
ääähhh, ja das meine ich XD
> > > Welches sind eigentlich die Eigenwerte von f?
> >
> > Zitat von fred97: "eine Matrix ist genau dann nilpotent,
> > wenn sie nur den Eigenwert 0 hat"
>
> Da hat der fred97 sehr recht.
>
> Du kannst es übrigens am Minimalpolynom sehen.
>
> >
> > >
> > > Der Eigenraum hat auch die Dimension 3. (Warum?)
> >
> > das ist allerdings ne gute Frage :)
>
> Habe ich je eine schlechte Frage gestellt?
>
> Was ist denn der Eigenraum einer lin. Abb g zum Eigenwert
> [mm]\lambda?[/mm]
> Es ist der Kern von [mm]g-\lambda[/mm] id
>
> Also ist der Eigenraum von f zum Eigenwert 0 der Kern
> wovon?
f !?
> > die Dimension des Kerns gibt mir ja die Anzahl der
> > Jordanblöcke vor. Also 3.
> >
> > das heißt es bleiben die möglichkeiten
> >
> > A= [mm]J_{2}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{2}(0)[/mm]
> > A=
> [mm]J_{3}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{1}(0)[/mm]
> >
> > A= [mm]J_{4}(0) \oplus J_{1}(0) \oplus J_{1}(0)[/mm]
> >
> > aber ich kann doch mit keiner der gegebenen Bedingungen ne
> > möglichkeit davon ausschließen, oder seh ich da was nicht?
>
> Ja, Du übersiehst etwas.
>
> Du hattest ja festgestellt, daß [mm]f^2[/mm] =0 ist
>
> Also ist [mm]A^2=0,[/mm] und für welche der Matrizen das der fall
> ist, kannst Du ja grad mal eben ausrechnen.
>
> Gruß v. Angela
ich bin aber auch ...
daran hatte ich sogar gedacht, war mir aber sicher das das für alle stimmt. naja nachrechnen is wohl doch besser als nachdenken.
es kann demnach nur
A= [mm] J_{2}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{2}(0)
[/mm]
sein.
danke für die Geduld!
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> > Was weißt Du nun übers Minimalpolynom?
> > Wie sieht es aus und was hat das mit der JNF zu tun?
>
> fürs charakteristische polynom heißt das:
>
> [mm]x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T-\lambda_{i})^{V_{i}}[/mm]
>
> also wenn [mm]\lambda_{i}=0[/mm] für alle i
> (??? im Kopf) muss T null sein damits null wird?!
Hallo,
dann ist erstmal das charakteristische Polynom von f
[mm] x_{f}(T)=\produkt_{i=1}^{k} (T)^{V_{i}}=T^{\summe V_(i)}=T^k [/mm] für ein passendes k.
> vom minimalpolynom hab ich noch nie was gehört...
Dann storniere ich alle meine diesbezüglichen Fragen.
> > Also ist der Eigenraum von f zum Eigenwert 0 der Kern
> > wovon?
>
> f !?
Ja. Der Eigenraum v. f zum Eigenwert 0 ist Kern(f-0*id)=Kernf, und daß der die Dimension 3 hat, hast Du ja schon herausgefunden.
> es kann demnach nur
>
> A= [mm]J_{2}(0) \oplus J_{2}(0) \oplus J_{2}(0)[/mm]
Das deckt sich mit meinen Berechnungen.
Damit dürfte die Frage umfassend beantwortet sein, nun mußt Du's nur noch hübsch aufschreiben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 25.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
EIne letzte Frage habe ich dann doch noch:
Gibt es eigentlich irgendwas ( ja bestimmt, aber was) für das ich die Jordansche Normalform einer Matrix brauche? Berechnen kann ich sie ja, aber so wie bei anderen Dingen was schönes daran sehen krieg ich noch nich hin...
Irgendwie bin ich mir sicher das irgendwer in den weiten des Matheraums mir da weiterhelfen kann.
danke im Vorraus, die Maxi
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> Gibt es eigentlich irgendwas ( ja bestimmt, aber was) für
> das ich die Jordansche Normalform einer Matrix brauche?
> Berechnen kann ich sie ja, aber so wie bei anderen Dingen
> was schönes daran sehen krieg ich noch nich hin...
Hallo,
zunächst mal ist es ja so, daß man, wenn man eine lineare Abbildung auf JNF gebracht hat, einiges über die Machart der Abbildung ablesen kann, invariante Unterräume, Eigenwerte, Eigenvektoren.
Wenn man Potenzen einer Matrix berechnen will, ist die JNF nützlich.
Eine echte Anwendung gibt's bei der Lösung von Differentialgleichungssystemen.
Gruß v. Angela
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