k*q^k partielle summation < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mi 28.12.2011 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | geben sie den wert der summe [mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^k [/mm] mittels partieller summation an. |
hallo ihr lieben :)
habe wieder mal ein problem, das ich nicht selbst lösen kann.
ich bin soweit dass ich [mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^k=\summe_{k=1}^{n}(\frac{q^{k+1}}{q-1}-\frac{q^{k}}{q-1})*k [/mm] anschreibe.
ein kollege hat mich nun auf die idee gebracht das ganze mittels:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(\frac{q^{k+1}}{q-1}-\frac{q^{k}}{q-1})*k=\frac{q^{k+1}}{q-1}*(n+1)-\frac{q}{q-1}*1-\summe_{k=1}^{n}(\frac{q^{k+1}}{q-1})*1 [/mm] an zu schreiben.
jedoch habe ich hier schon probleme nach zu vollziehen wie man auf das kommt :( kann mir das jemand erklären?
weiters bin ich dann auf:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k*q^k=-n*\frac{q^{n+1}}{1-q}+\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+\frac{1}{1-q}*\frac{q(q-q^{n+1})}{1-q}=-n*\frac{q^{n+1}}{1-q}-q*\frac{(1-q^{n})}{(1-q)^{2}}
[/mm]
gekommen. allerdings hab ich das nur mit wolframalpha zusammengebracht :( ich würde es gerne verstehen - komme aber leider selbst nicht dahinter.
hoffe ihr könnt mir helfen :)
liebe grüße eure meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Mi 28.12.2011 | | Autor: | meely |
die frage ist seit fast einer stunde reserviert wenn ich mich nicht verschaut habe .. ?! hat jemand vergessen auf abbrechen zu klicken ?
Liebe Grüße Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 28.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo meely!
> geben sie den wert der summe [mm]\summe_{k=1}^{n}k*q^k[/mm] mittels
> partieller summation an.
>
> hallo ihr lieben :)
>
> habe wieder mal ein problem, das ich nicht selbst lösen
> kann.
>
> ich bin soweit dass ich
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*q^k=\summe_{k=1}^{n}(\frac{q^{k+1}}{q-1}-\frac{q^{k}}{q-1})*k[/mm]
> anschreibe.
>
> ein kollege hat mich nun auf die idee gebracht das ganze
> mittels:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(\frac{q^{k+1}}{q-1}-\frac{q^{k}}{q-1})*k=\frac{q^{k+1}}{q-1}*(n+1)-\frac{q}{q-1}*1-\summe_{k=1}^{n}(\frac{q^{k+1}}{q-1})*1[/mm]
> an zu schreiben.
>
> jedoch habe ich hier schon probleme nach zu vollziehen wie
> man auf das kommt :( kann mir das jemand erklären?
Du ziehst die Differenz in getrennte Summen:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\left(\frac{q^{k+1}}{q-1}-\frac{q^{k}}{q-1}\right)*k = \summe_{k=1}^{n}\frac{q^{k+1}}{q-1}* k - \summe_{k=1}^{n}\frac{q^{k}}{q-1}*k [/mm] .
Dann verschiebst du in der zweiten Summe den Summationsindex um 1:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{q^{k}}{q-1}*k = \summe_{k=0}^{n-1}\frac{q^{k+1}}{q-1}*(k+1)[/mm] .
Damit wir die Summen wieder zusammenfassen können, nehmen wir diejenigen SUmmanden heraus, die nur in einer vorkommen; das ist in der ersten Summe der mit $k=n$:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{q^{k+1}}{q-1}* k = \summe_{k=1}^{n-1}\frac{q^{k+1}}{q-1}* k + \frac{q^{n+1}}{q-1}* n [/mm]
und in der zweiten Summe der mit $k=0$:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\frac{q^{k+1}}{q-1}*(k+1) = \frac{q^{1}}{q-1}*(1) + \summe_{k=1}^{n-1}\frac{q^{k+1}}{q-1}*(k+1) [/mm] .
Zusammengefasst:
[mm] \summe_{k=1}^{n-1}\frac{q^{k+1}}{q-1}* k + \frac{q^{n+1}}{q-1}* n - \left( \frac{q^{1}}{q-1}*(1) + \summe_{k=1}^{n-1}\frac{q^{k+1}}{q-1}*(k+1) \right) [/mm] .
Jetzt kannst du die beiden Summen wieder zusammenziehen:
[mm] = \frac{q^{n+1}}{q-1}* n - \frac{q}{q-1}*1 + \summe_{k=1}^{n-1}\left(\frac{q^{k+1}}{q-1}* k - \frac{q^{k+1}}{q-1}*(k+1) \right) [/mm]
[mm] = \frac{q^{n+1}}{q-1}* n - \frac{q}{q-1}*1 + \summe_{k=1}^{n-1} \frac{q^{k+1}}{q-1} (k -(k+1)) [/mm]
[mm] = \frac{q^{n+1}}{q-1}* n - \frac{q}{q-1}*1 - \summe_{k=1}^{n-1} \frac{q^{k+1}}{q-1}*1 [/mm] .
> weiters bin ich dann auf:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*q^k=-n*\frac{q^{n+1}}{1-q}+\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+\frac{1}{1-q}*\frac{q(q-q^{n+1})}{1-q}=-n*\frac{q^{n+1}}{1-q}-q*\frac{(1-q^{n})}{(1-q)^{2}}[/mm]
>
> gekommen. allerdings hab ich das nur mit wolframalpha
> zusammengebracht :( ich würde es gerne verstehen - komme
> aber leider selbst nicht dahinter.
OK, schauen wir uns die letzte Summe nochmal genauer an: der Nenner und ein Faktor $q$ können vor die Summe gezogen werden:
[mm] \summe_{k=1}^{n-1} \frac{q^{k+1}}{q-1}*1 = \bruch{1}{q-1} \summe_{k=1}^{n-1} q^{k+1} = \bruch{q}{q-1}\summe_{k=1}^{n-1} q^{k} [/mm] .
Addiere und subtrahiere den Term mit $k=0$:
[mm] = \bruch{q}{q-1} \summe_{k=1}^{n-1} q^{k} = \bruch{q}{q-1} \left (\summe_{k=0}^{n-1} q^{k} -1 \right)[/mm]
[mm] = \bruch{q}{q-1} \left(\bruch{1-q^{n}}{1-q} - 1 \right) [/mm] .
Jetzt fügen wir die Terme wieder zusammen:
[mm] \frac{q^{n+1}}{q-1}* n- \frac{q}{q-1} - \bruch{q}{q-1} \left(\bruch{1-q^{n}}{1-q} - 1 \right) [/mm]
[mm] = -n \frac{q^{n+1}}{1-q} + \frac{q}{1-q} + q\bruch{1-q^{n}}{(1-q)^2} - \frac{q}{1-q} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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vielen dank für die außerordentlich ausführliche antwort :) werde mich mal mit meely dahinterklemmen. konnte ihr leider nicht helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 28.12.2011 | | Autor: | meely |
nicht wundern - scherzkrapferl und ich wohnen in einer WG ;) liebe grüße meely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 28.12.2011 | | Autor: | meely |
geniale antwort ! danke hat mir sehr geholfen und hab alles wunderbar nachvollziehen können.
allerdings bleiben mir noch 2 fragen:
1. gibt es ein allgemeines "kochrezept" mit dem ich solche beispiele immer lösen kann?
2. wie bist du auf die idee gekommen, das beispiel auf diese art zu lösen?
liebe grüße meely :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 29.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo meely!
> geniale antwort ! danke hat mir sehr geholfen und hab alles
> wunderbar nachvollziehen können.
> allerdings bleiben mir noch 2 fragen:
>
> 1. gibt es ein allgemeines "kochrezept" mit dem ich solche
> beispiele immer lösen kann?
Für beliebige Summen sicher nicht. Aber es gibt Kochrezepte für bestimmte Klassen von Summen. Ein Beispiel sind Summen
[mm] S(n) = \summe_{k=1}^n a_k [/mm]
mit der Eigenschaft, dass
[mm] \bruch{S(n)}{S(n-1)} [/mm]
eine rationale Funktion von n ist. Da gibt es eine allgemeine Methode, um $S(n)$ zu bestimmen (![[]](/images/popup.gif) R.W. Gosper: Decision procedure for indefinite hypergeometric summation, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 1978).
> 2. wie bist du auf die idee gekommen, das beispiel auf
> diese art zu lösen?
Na, du hattest ja schon die partielle Summation angegeben. Die verbleibende Summe liess sich direkt ausrechnen.
Normalerweise hätte ich die Methode mit der Ableitung, wie von HJKweseleit angegeben, genommen.
Viele Grüße
Rainer
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Es gibt für diese Aufgabe einen eleganteren Lösungsweg, der allerdings wohl nicht der Aufgabenstellung (partielle Summation) entspricht. Den "sieht" man aber nur, wenn man sich fragt: "Wo habe ich so was Ähnliches schon gesehen?" (wahrscheinlich nirgendwo, aber:) Wenn man einen Buchstaben austauscht, fällt einem vielleicht etwas auf:
Schreibe statt [mm]\summe_{k=1}^{n}k*q^k[/mm]
[mm]\summe_{k=1}^{n}k*x^k[/mm]
Das sieht doch fast so aus, als hätte jemand die Ableitung von etwas gebildet - aber nicht ganz fehlerfrei. Wir ändern mal ab, indem wir ein x klauen:
A(x) = [mm]\summe_{k=1}^{n}k*x^{k-1}[/mm] =B´(x).
Dann ist B(x) =[mm]\summe_{k=1}^{n}x^k[/mm] und damit eine geometrische Reihe. Dafür gibt es die Kurzform
[mm]B(x)=\bruch{x^{n+1}-x}{x-1}[/mm]
Daraus ergibt sich wieder mit der Quotientenregel:
A(x)= B´(x) = [mm]\bruch{((n+1)x^n-1)(x-1)-(x^{n+1}-x)*1}{(x-1)^2}=\bruch{nx^{n+1}+1x^{n+1}-(n+1)x^n-x+1-x^{n+1}+x}{(x-1)^2}=\bruch{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}[/mm]
Nun war aber nicht A(x) die gesuchte Summe, sondern x*A(x), weil ja ein x geklaut wurde.
x*A(x)= [mm]\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(x-1)^2}[/mm]
oder wieder mit q: [mm]\bruch{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}[/mm]
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PS:
Beim Vergleich mit deinem Ergebnis [mm] -n\cdot{}\frac{q^{n+1}}{1-q}-q\cdot{}\frac{(1-q^{n})}{(1-q)^{2}}
[/mm]
habe ich noch herausgefunden, dass dort ein Vorzeichenfehler ist: es muss heißen
[mm] -n\cdot{}\frac{q^{n+1}}{1-q}+q\cdot{}\frac{(1-q^{n})}{(1-q)^{2}}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Do 29.12.2011 | | Autor: | meely |
zwar nicht ganz nach was ich gesucht haben aber eine sehr interessante methode :) gefällt mir sehr gut - werde ich mir merken, danke :)
wusste gar nicht dass man soetwas auch auf so eine art lösen kann
liebe grüße meely
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