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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Zeige durch vollständige Induktion für die Mengen K={1,...,k} und N={1,...,n} mit [mm] k,n\in \IN, [/mm] dass gilt [mm] #N^k=n^k
[/mm]
[mm] (N^k [/mm] bezeichnet die Menge aller Abbildungen f: K [mm] \to [/mm] N). |
wie gehe ich in diesem beweis vor, wenn ich 2 variablen habe? ich könnte mir vorstellen, dass ich beispielsweise k fest lasse und nur n laufen lasse...
aber wie genau schreibe ich das auf?
wär schön, wenn mir jemand einen fahrplan oder tipps...geben könnte
gruß und dank
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> Zeige durch vollständige Induktion für die Mengen
> K={1,...,k} und N={1,...,n} mit [mm]k,n\in \IN,[/mm] dass gilt
> [mm]#N^k=n^k[/mm]
>
> [mm](N^k[/mm] bezeichnet die Menge aller Abbildungen f: K [mm]\to[/mm] N).
> wie gehe ich in diesem beweis vor, wenn ich 2 variablen
> habe? ich könnte mir vorstellen, dass ich beispielsweise k
> fest lasse und nur n laufen lasse...
> aber wie genau schreibe ich das auf?
> wär schön, wenn mir jemand einen fahrplan oder
> tipps...geben könnte
>
> gruß und dank
Es geht wohl einfacher, wenn du n festhältst und
Induktion nach k machst.
Sei also [mm] N=\{1,2,3, ... , n\} [/mm] vorgegeben.
Für die Verankerung der Induktion nimmst du k=1,
also [mm] K=\{1\}. [/mm] Wie viele Abbildungen sind in diesem
Fall möglich ?
Für den Induktionsschritt musst du dir überlegen,
wie sich die Anzahl der möglichen Abbildungen
verändert, wenn einer bestimmten Menge K
ein zusätzliches Element hinzugefügt wird.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
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> Es geht wohl einfacher, wenn du n festhältst und
> Induktion nach k machst.
>
> Sei also [mm]N=\{1,2,3, ... , n\}[/mm] vorgegeben.
> Für die Verankerung der Induktion nimmst du k=1,
> also [mm]K=\{1}.[/mm] Wie viele Abbildungen sind in diesem
> Fall möglich ?
n, oder? also [mm] #N^k=n=n^1
[/mm]
> Für den Induktionsschritt musst du dir überlegen,
> wie sich die Anzahl der möglichen Abbildungen
> verändert, wenn einer bestimmten Menge K
> ein zusätzliches Element hinzugefügt wird.
wenn K ein Element mehr hat, kann dieses ja auf jedes n abgebildet werden, es gibt also n abbildungen mehr.
kann ich #N^(K+1) umschreiben zu # [mm] N^k [/mm] mal # [mm] N^1, [/mm] darauf dann die IV anwenden? dann erhalte ich ja [mm] n^k [/mm] * [mm] n^1=n^{k+1}
[/mm]
und wäre dann schon fertig???
>
> Gruß Al-Chw.
gruß zurück
>
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> >
> > Es geht wohl einfacher, wenn du n festhältst und
> > Induktion nach k machst.
> >
> > Sei also [mm]N=\{1,2,3, ... , n\}[/mm] vorgegeben.
> > Für die Verankerung der Induktion nimmst du k=1,
> > also [mm]K=\{1}.[/mm] Wie viele Abbildungen sind in diesem
> > Fall möglich ?
> n, oder? also [mm]#N^k=n=n^1[/mm]
> > Für den Induktionsschritt musst du dir überlegen,
> > wie sich die Anzahl der möglichen Abbildungen
> > verändert, wenn einer bestimmten Menge K
> > ein zusätzliches Element hinzugefügt wird.
Hallo,
> wenn K ein Element mehr hat, kann dieses ja auf jedes n
> abgebildet werden, es gibt also n abbildungen mehr.
Nein. Das meinst Du aber auch gar nicht, sondern: es gibt n-mal sowiele Abbildungen.
> kann ich #N^(K+1) umschreiben zu # [mm]N^k[/mm] mal # [mm]N^1,[/mm] darauf
> dann die IV anwenden? dann erhalte ich ja [mm]n^k[/mm] *
> [mm]n^1=n^{k+1}[/mm]
> und wäre dann schon fertig???
Deine Berechnung stimmt schon, die Begründung reicht nicht, denn Du hast ja gar nicht richtig gesagt, worauf Du die Induktionsvoraussetzung anwendest.
Mach das so:
Überlege Dir, wieviele Möglichkeiten es gibt, wenn Du die Funktionen von [mm] A_{k+1} \to A_n [/mm] einschränkst auf [mm] A_k.
[/mm]
Nun muß, wenn Du die Funktionen auf ganz [mm] A_{k+1} [/mm] haben willst, ja noch dem k+1 ein Funktionswert zugewiesen werden. Dafür gibt es n Möglichkeiten,
und hieraus folgt dann die Rechnung mit dem Ergebnis [mm] n^{k+1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
> > Gruß Al-Chw.
> gruß zurück
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
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> > kann ich #N^(K+1) umschreiben zu # [mm]N^k[/mm] mal # [mm]N^1,[/mm] darauf
> > dann die IV anwenden? dann erhalte ich ja [mm]n^k[/mm] *
> > [mm]n^1=n^{k+1}[/mm]
> > und wäre dann schon fertig???
>
> Deine Berechnung stimmt schon, die Begründung reicht nicht,
> denn Du hast ja gar nicht richtig gesagt, worauf Du die
> Induktionsvoraussetzung anwendest.
na klar, ich wende die IV auf # [mm] N^k [/mm] an! was muss man denn da noch begründen??
>
> Mach das so:
>
> Überlege Dir, wieviele Möglichkeiten es gibt, wenn Du die
> Funktionen von [mm]A_{k+1} \to A_n[/mm] einschränkst auf [mm]A_k.[/mm]
>
> Nun muß, wenn Du die Funktionen auf ganz [mm]A_{k+1}[/mm] haben
> willst, ja noch dem k+1 ein Funktionswert zugewiesen
> werden. Dafür gibt es n Möglichkeiten,
>
> und hieraus folgt dann die Rechnung mit dem Ergebnis
> [mm]n^{k+1}.[/mm]
das verstehe ich ja, aber wie packe ich es in den induktionsbeweis? kann ich nicht meinen obigen ansatz lieber noch irgendwie ausbauen?
> Gruß v. Angela
>
grüße zurück
>
>
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> > > Gruß Al-Chw.
> > gruß zurück
> > >
> >
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> > > kann ich #N^(K+1) umschreiben zu # [mm]N^k[/mm] mal # [mm]N^1,[/mm] darauf
> > > dann die IV anwenden? dann erhalte ich ja [mm]n^k[/mm] *
> > > [mm]n^1=n^{k+1}[/mm]
> > > und wäre dann schon fertig???
> >
> > Deine Berechnung stimmt schon, die Begründung reicht nicht,
> > denn Du hast ja gar nicht richtig gesagt, worauf Du die
> > Induktionsvoraussetzung anwendest.
>
> na klar, ich wende die IV auf # [mm]N^k[/mm] an! was muss man denn
> da noch begründen??
Hallo,
ich finde schon, daß man etwas genauer sagen muß, was [mm] N^{\{1,2,...k\}} [/mm] mit [mm] N^{\{1,2,...k, k+1\}} [/mm] zu tun hat.
> N^(K+1) umschreiben zu # [mm]N^k[/mm] mal # [mm][mm] N^1
[/mm]
Anderes Problem: mit K+1 meinst Du hier sicher [mm] K+1:=\{1,2,...k, k+1\}, [/mm] und mit 1?
Meinst Du hier mit [mm] 1:=\{k+1\}.
[/mm]
Wenn ja: Du multiplizierst hier zwei Mengen, dei Abbildungen enthalten, und Du hast nirgendwo erklärt, wie das vonstattn gehen soll.
> > Mach das so:
> >
> > Überlege Dir, wieviele Möglichkeiten es gibt, wenn Du die
> > Funktionen von [mm]A_{k+1} \to A_n[/mm] einschränkst auf [mm]A_k.[/mm]
> >
> > Nun muß, wenn Du die Funktionen auf ganz [mm]A_{k+1}[/mm] haben
> > willst, ja noch dem k+1 ein Funktionswert zugewiesen
> > werden. Dafür gibt es n Möglichkeiten,
> >
> > und hieraus folgt dann die Rechnung mit dem Ergebnis
> > [mm]n^{k+1}.[/mm]
>
> das verstehe ich ja, aber wie packe ich es in den
> induktionsbeweis? kann ich nicht meinen obigen ansatz
> lieber noch irgendwie ausbauen?
???
Genauso, wie ich es gesagt hatte. Das ist doch der "Ausbau".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 30.10.2008 | | Autor: | gigi |
ok, besten dank!
ich verstehe das mit den n-mal so vielen abbildungen ja wie gesagt, nur weiß ich nicht genau, wie ich es mathematisch aufschreibe! meinst du, es ist ok, wenn ich in einer art nebenrechnung deine einschränkung auf [mm] A_K [/mm] (wieso muss ich hier eigentlich noch einen "neuen buchstaben" einführen?) usw bringe?
gruß und dank
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> ok, besten dank!
>
> ich verstehe das mit den n-mal so vielen abbildungen ja wie
> gesagt, nur weiß ich nicht genau, wie ich es mathematisch
> aufschreibe! meinst du, es ist ok, wenn ich in einer art
> nebenrechnung deine einschränkung auf [mm]A_K[/mm] (wieso muss ich
> hier eigentlich noch einen "neuen buchstaben" einführen?)
> usw bringe?
Hallo,
den neuen Buchstaben mußt und solltest Du nicht bringen, schon gar nicht ohne zu erklären, was das sein soll.
Oder Du taufst von Anfang an das K um in [mm] A_n.
[/mm]
(Ich habe den nur aus Bequemlichkeit verwendet - weil ich ja wußte, daß Du aus den anderen Aufgaben weißt, was ich meine.)
Ob diese Nebenrechnung so "neben" ist, wage ich zu bezweifeln...
Diese Betrachtung muß auf alle Fälle rein, damit das ganze einen Sinn und Zusammenhang bekommt.
Wenn Du alles aufgeschrieben hast, kannst Du es posten, wenn Du magst. Dann kann nochmal einer drübergucken und sehen, ob Du's verstanden und sinnvoll aufgeschrieben hast.
Gruß v. Angela
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