keine Lösungskurve der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Gibt es einen Punkt (x,y), durch die keine Lösungskurve der DGL [mm] y'+e^x(1+y^2)=0 [/mm] geht?
b)Lösen Sie das reelle AWP [mm] y'+e^x(1+y^2)=0, [/mm] y(0)=0 und ermitteln sie den maximalen Definitionsbereich von y.
Hinweis: Beachten Sie die Polstellen der Tangents-Funktion. |
Hallo,
wie soll ich hier am besten vorgehen? Meine Idee:
y'=g(x)*h(y)
[mm] y'=-e^x(1+y^2) |/1+y^2
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{h(y)}=g(x)
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{(1+y^2)}=-e^x
[/mm]
Jetzt komme ich nicht wirklich weiter. Denn sonst was h(y)=y dadurch war die Bildung der Stammfunktion sehr einfach. Muss ich jetzt die Stammfunktion von [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{y'}{(1+y^2)}}=\integral_{}^{}{-e^x} [/mm] bilden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) Gibt es einen Punkt (x,y), durch die keine Lösungskurve
> der DGL [mm]y'+e^x(1+y^2)=0[/mm] geht?
> b)Lösen Sie das reelle AWP [mm]y'+e^x(1+y^2)=0,[/mm] y(0)=0 und
> ermitteln sie den maximalen Definitionsbereich von y.
>
> Hinweis: Beachten Sie die Polstellen der
> Tangents-Funktion.
> Hallo,
> wie soll ich hier am besten vorgehen? Meine Idee:
> y'=g(x)*h(y)
> [mm]y'=-e^x(1+y^2) |/1+y^2[/mm]
> [mm]\bruch{y'}{h(y)}=g(x)[/mm]
> [mm]\bruch{y'}{(1+y^2)}=-e^x[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht wirklich weiter. Denn sonst was
> h(y)=y dadurch war die Bildung der Stammfunktion sehr
> einfach. Muss ich jetzt die Stammfunktion von
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{y'}{(1+y^2)}}=\integral_{}^{}{-e^x}[/mm]
> bilden?
Mit Trennung der Var. kommst Du auf
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{dy}{(1+y^2)}}=\integral_{}^{}{-e^x ~dx}[/mm]
Also brauchst Du eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{(1+y^2)}
[/mm]
FRED
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Die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{(1+y^2)} [/mm] ist arctan (y).
Also kann ich jetzt [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{dy}{(1+y^2)}}=\integral_{}^{}{-e^x ~dx} [/mm] = [mm] \bruch{y}{arctan(y)}=e^{-x} [/mm] schreiben. Und nun? oder ist [mm] \bruch{1}{arctan(y)}=e^{-x}? [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Do 28.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{(1+y^2)}[/mm] ist arctan (y).
>
> Also kann ich jetzt [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{dy}{(1+y^2)}}=\integral_{}^{}{-e^x ~dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{y}{arctan(y)}=e^{-x}[/mm] schreiben. Und nun? oder ist
> [mm]\bruch{1}{arctan(y)}=e^{-x}?[/mm]
Weder noch, sondern:
[mm] $arctan(y)=e^{-x}+C$
[/mm]
Edit: da hab ich mich verschrieben. Es sollte da stehen: [mm] $arctan(y)=-e^{x}+C$
[/mm]
FRED
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Also kann ich hier mit weiter arbeiten: [mm] arctan(y)=\bruch{1}{e^{x}}+C
[/mm]
Wie arbeite ich denn mit arctan(y) ? Ich möchte dort doch nur ein y stehen haben, oder kann ich mit arctan(y) weiter arbeiten, wenn ja wäre ich über ein kleinen Tipp sehr erfreut.
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Hallo Thomyarberlin!
Zum einen frage ich mich gerade, wo hier urplötzlich das Minuszeichen im Exponenten der e-Funktion herkommt? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Und um den [mm]\arctan(...)[/mm] zu beseitigen, kannst Du auf beiden Seiten der Gleichung die [mm]\tan(...)[/mm]-Funktion anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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Na ist [mm] \integral_{}^{}{-e^x dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] oder nicht?
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Hallo!
> Na ist [mm]\integral_{}^{}{-e^x dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] oder nicht?
Eindeutig: oder nicht. Es gilt:
[mm] $$\integral{-e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\integral{e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -e^x [/mm] \ (+c)$$
Gruß vom
Roadrunner
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Also ist [mm] arctan(y)=e^x+c [/mm] |*tan
[mm] y=tan(e^x)+tan(c) [/mm] ?
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Hallo Thomyatberlin!
> Also ist [mm]arctan(y)=e^x+c[/mm] |*tan
Es wird nicht mit dem Tangens multipliziert!
> [mm]y=tan(e^x)+tan(c)[/mm] ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Auf der rechten Seite muss es [mm] $\tan\left(e^x+c\right)$ [/mm] lauten.
Gruß vom
Roadrunner
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Nun gut, dann ist es ebend [mm] y=tan(e^x+c).
[/mm]
Die Funktion sieht sehr interessant aus. Nun zurück zur Hauptfrage, gibt es einen Punkt(x,y) der nicht erreicht werden kann? Wie gehe ich davor? Oder was muss ich jetzt machen? C bestimmen, wenn ja wie?
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Hallo Thomyatberlin,
> Nun gut, dann ist es ebend [mm]y=tan(e^x+c).[/mm]
Das ist fast richtig: [mm]y=tan(c\blue{-}e^x)[/mm]
> Die Funktion sieht sehr interessant aus. Nun zurück zur
> Hauptfrage, gibt es einen Punkt(x,y) der nicht erreicht
> werden kann? Wie gehe ich davor? Oder was muss ich jetzt
Untersuche ob es Einschränkungen an x bzw.y gibt.
> machen? C bestimmen, wenn ja wie?
>
Durch auflösen von [mm]y=tan(c-e^x)[/mm] nach c.
Gruss
MathePower
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Untersuche ob es Einschränkungen an x bzw.y gibt.
y ist nicht eingeschränkt und x eig. auch nicht da die e-funktion doch alles erfüllt, aber nie die Null erreicht. Jedoch ist der Tangens nicht für alles definiert. Sprich für [mm] \IR [/mm] \ [mm] {k\pi+\bruch{\pi}{2}} [/mm] Also für den Fall das [mm] e^x={k\pi+\bruch{\pi}{2}} [/mm] ist x nicht definiert kann man das so pauschal sagen?
[i]Durch auflösen von [mm] y=tan(c-e^x) [/mm] nach c.[i/]
Also [mm] y=c-e^x [/mm] => [mm] c=y+e^x [/mm] das geht wohl nicht... Ich kann doch nicht mit Tangens dividieren oder?
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Hallo Thomyatberlin,
> Untersuche ob es Einschränkungen an x bzw.y gibt.
>
> y ist nicht eingeschränkt und x eig. auch nicht da die
> e-funktion doch alles erfüllt, aber nie die Null erreicht.
> Jedoch ist der Tangens nicht für alles definiert. Sprich
> für [mm]\IR[/mm] \ [mm]{k\pi+\bruch{\pi}{2}}[/mm]
Aha!
Ja, beachte aber, dass hier das Argument vom Tangens doch [mm]x-e^x[/mm] ist, also muss doch [mm]c-e^x[/mm] in [mm]\IR\setminus\{k\pi+\frac{\pi}{2}\}[/mm] sein!
> Also für den Fall das
> [mm]e^x={k\pi+\bruch{\pi}{2}}[/mm] ist x nicht definiert kann man
> das so pauschal sagen?
Nein, das ist Unsinn! Für [mm]c-e^x=k\pi+\frac{\pi}{2}[/mm], also [mm]x=...[/mm] ist [mm]y[/mm] (!!) nicht definiert!
>
> Durch auflösen von [mm]y=tan(c-e^x)[/mm] nach c.[i/]
>
> Also [mm]y=c-e^x[/mm] => [mm]c=y+e^x[/mm] das geht wohl nicht... Ich kann
> doch nicht mit Tangens dividieren oder?
Tangens ist doch nur ein Name für eine Funktioon, du kannst doch auch nicht in [mm]\sin(x)=y[/mm] durch Sinus dividieren.
Du musst die Umkehrfunktion des [mm]\tan[/mm] anwenden auf beide Seiten der Gleichung (steht weiter oben aber schon einmal!!)
Genauer lesen!
Also [mm]y=\tan\left(c-e^x\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \arctan(y)=c-e^x[/mm] ...
LG
schachuzipus
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So also ich habe jetzt folgendes berechnet:
[mm] y=tan(-e^x+c) [/mm] mit dem AWP y(0)=0 erhalte ich [mm] 0=tan(-e^0+c) [/mm] erweitere mit arctan [mm] arctan(0)=-e^0+c [/mm] => 0=-1+c => c=1 . Also ist [mm] y(x)=tan(-e^x+1) [/mm] richtig?
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nun habe ich noch da ich ja c ausgerechnet habe: [mm] y(x)=tan(-e^x+1) [/mm]
[mm] -e^{k\pi+\pi/2}+1=0 [/mm] => [mm] 1=e^{k\pi+\pi/2} [/mm] |*ln => [mm] 0=k\pi+pi/2 =>-k\pi=pi\2 [/mm] |: [mm] \pi [/mm] => [mm] k=-\bruch{1}{2}...
[/mm]
Aber laut Grafik ist bei x=-0,5 eine Lücke :-S
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Hallo nochmal,
> nun habe ich noch da ich ja c ausgerechnet habe:
> [mm]y(x)=tan(-e^x+1)[/mm]
> [mm]-e^{k\pi+\pi/2}+1=0[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was soll das denn bedeuten? Woher kommt der Exponent angeflogen?
> => [mm]1=e^{k\pi+\pi/2}[/mm] |*ln =>
> [mm]0=k\pi+pi/2 =>-k\pi=pi\2[/mm] |: [mm]\pi[/mm] => [mm]k=-\bruch{1}{2}...[/mm]
>
> Aber laut Grafik ist bei x=-0,5 eine Lücke :-S
Bei mir nicht!
Der Anfangswert legt doch fest, in welchem Intervall die Lösungsfunktion verlaufen muss!
Es muss ja $x=0$ im Definitionsintervall enthalten sein.
Das liefert dir dein k.
Damit rechne dann das Definitionsintervall exakt aus!
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> So also ich habe jetzt folgendes berechnet:
> [mm]y=tan(-e^x+c)[/mm] mit dem AWP y(0)=0 erhalte ich [mm]0=tan(-e^0+c)[/mm]
> erweitere
Wieso "erweitere" ??
Du wendest den [mm] $\arctan$ [/mm] auf die Gleichung an!
> mit arctan [mm]arctan(0)=-e^0+c[/mm] => 0=-1+c => c=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Also ist [mm]y(x)=tan(-e^x+1)[/mm] richtig?
Ja!
Wie sieht's nun mit dem Definitionsbereich aus?
Der gehört zur Lösung dazu!
Gruß
schachuzipus
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Definitionsbereich: [mm] \IR\backslash \{ k*\pi+{\bruch{\pi}{2}\}} k\in\IZ [/mm] gilt für den Tangens, aber wie kann ich das jetzt für diese Funktion ermitteln? Habe mir sie noch mal die Grafik angeguckt und es sieht so aus als wäre ca. bei 1 eine Lücke oder aber auch [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
[mm] y(x)=tan(1-e^x)
[/mm]
Ich weiß z.b nur das man z.b bei [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] z.b 1 eine Definitionslücke ist sprich Def.Be.: [mm] \IR\backslash\{1\}
[/mm]
Soll ich jetzt z.b tan in sin und cos auflösen?
Also so [mm] y(x)=\bruch{sin(1-e^x)}{cos(1-e^x)} [/mm] dann dürfte [mm] cos(1-e^x)\not=0 [/mm] sein. Hmm, aber da ist auch [mm] 1-e^x [/mm] enthalten und ich weiß nicht wie das zu [mm] \bruch{\pi}{2}bekomme. [/mm] Kann mir jemand da einen Tipp geben oder bin ich einfach nur mega blind ^^
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Hallo Thomyatberlin,
> Definitionsbereich: [mm]\IR\backslash \{ k*\pi+{\bruch{\pi}{2}\}} k\in\IZ[/mm]
> gilt für den Tangens, aber wie kann ich das jetzt für
> diese Funktion ermitteln? Habe mir sie noch mal die Grafik
> angeguckt und es sieht so aus als wäre ca. bei 1 eine
> Lücke oder aber auch [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> [mm]y(x)=tan(1-e^x)[/mm]
>
> Ich weiß z.b nur das man z.b bei [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] z.b 1 eine
> Definitionslücke ist sprich Def.Be.: [mm]\IR\backslash\{1\}[/mm]
>
> Soll ich jetzt z.b tan in sin und cos auflösen?
> Also so [mm]y(x)=\bruch{sin(1-e^x)}{cos(1-e^x)}[/mm] dann dürfte
> [mm]cos(1-e^x)\not=0[/mm] sein. Hmm, aber da ist auch [mm]1-e^x[/mm]
> enthalten und ich weiß nicht wie das zu
> [mm]\bruch{\pi}{2}bekomme.[/mm] Kann mir jemand da einen Tipp geben
> oder bin ich einfach nur mega blind ^^
Löse doch einfach die Gleichung
[mm]1-x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}[/mm]
nach x auf.
Gruss
MathePower
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[mm] x=-k\cdot{}\pi+\bruch{\pi}{2}+1 [/mm] und wieso jetzt? Und was ist k?
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Hallo Thomyatberlin,
> [mm]x=-k\cdot{}\pi+\bruch{\pi}{2}+1[/mm] und wieso jetzt? Und was
> ist k?
Sorry, mein Fehler. Es muss doch zunächst heißen:
[mm]\blue{e}^{x}=-\left(k\cdot{}\pi+\bruch{\pi}{2}\right)+1, \ k \in \IZ[/mm]
Damit das eine Lösung hat, muss
[mm]-\left(k\cdot{}\pi+\bruch{\pi}{2}\right)+1 > 0[/mm]
sein.
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
ist denn nicht wegen [mm]y(x=0)=0[/mm] und mit [mm]c=1[/mm] zu lösen:
[mm]-\frac{\pi}{2}<1-e^x<\frac{\pi}{2}[/mm]?
Was auf die Schnelle überschagen gibt: [mm]D=(-\infty,\ln\left(1+\frac{\pi}{2}\right))[/mm] ...
Was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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z.b k=-1 dann wäre die Definitonslücke bei [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] aber das macht kein Sinn oder?
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Hallo,
ich meine, dass wegen des Anfangswertes $x=0$ im Defbereich liegen muss, daher muss [mm] $-\frac{\pi}{2}<1-e^x<\frac{\pi}{2}$ [/mm] sein ...
Ich komme ´damit wie oben erwähnt auf den Def.bereich [mm](-\infty,\ln\left(1+\pi/2))[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also 1-e^x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}
\Rightarrow -e^x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}-1
\Rightarrow e^x=-(k*\pi+\bruch{\pi}{2})+1
\Rightarrow x=ln(-(k*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)
\Rightarrow wobei dieser Term nicht negativ sein darf wegen dem Logritmus (-(k*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)
\Rightarrow Def.bereich $ (-\infty,\ln\left(1+\pi/2)) $ da alle negative k enthalten sind und bei k=0 der Term kleiner null wird. Also ist das letzte k=-1
\Rightarrow x=ln(-(-1)(*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)
Habe ich das so richtig verstanden?
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Hallo Thomyatberlin,
> Also [mm]1-e^x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow -e^x=k*\pi+\bruch{\pi}{2}-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow e^x=-(k*\pi+\bruch{\pi}{2})+1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x=ln(-(k*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> wobei dieser Term nicht negativ sein darf wegen dem
> Logritmus [mm](-(k*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Def.bereich [mm](-\infty,\ln\left(1+\pi/2))[/mm] da
> alle negative k enthalten sind und bei k=0 der Term kleiner
> null wird. Also ist das letzte k=-1
> [mm]\Rightarrow x=ln(-(-1)(*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\Rightarrow x=ln(-(\blue{\left(-1\right)}*\pi+\bruch{\pi}{2})+1)[/mm]
> Habe ich
> das so richtig verstanden?
Ja.
Gruss
MathePower
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