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Forum "Uni-Stochastik" - keine Varianz
keine Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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keine Varianz: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mi 09.11.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Die Verteilung der Zufallsvariable X sei gegeben durch

[mm]P(X=\sqrt{i})=c\cdot i^{-2}, i\in\mathbb N, c=1/\sum_{i=1}^{\infty}i^{-2}=\frac{6}{\pi^2}[/mm].

Zeigen Sie, daß X einen Erwartungswert, jedoch keine Varianz besitzt.

Hallo, nochmal ich. :-)

Hier sind meine Ideen:

[mm]E(X)=\sqrt{1}\cdot \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{1^2}+\sqrt{2}\cdot\frac{6}{\pi^2}\cdot\frac{1}{2^2}+...=\frac{6}{\pi^2}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\sqrt{i}}{i^2}=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{3/2}}[/mm]

Da die Reihe konvergiert (da der Exponent im Nenner größer als 1 ist), existiert also der Erwartungswert.

Nun zu der Varianz.

Es gilt ja [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm].

Nun ist ja [mm]E(X)^2<\infty[/mm].

Jedoch ist [mm]E(X^2)=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}[/mm] und das ist ja die harmonische Reihe, die divergiert!

Also hat man (salopp gesagt):

[mm]\operatorname{Var}(X)=\infty-\text{endlicher Wert}=\infty[/mm] und deswegen hat X keine Varianz.




Ist das so korrekt, was ich aufgeschrieben habe?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet!

Liebe Grüße

mikexx
        
Bezug
keine Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Mi 09.11.2011
Autor: luis52


> Die Verteilung der Zufallsvariable X sei gegeben durch
>  
> [mm]P(X=\sqrt{i})=c\cdot i^{-2}, i\in\mathbb N, c=1/\sum_{i=1}^{\infty}i^{-2}=\frac{6}{\pi^2}[/mm].
>  
> Zeigen Sie, daß X einen Erwartungswert, jedoch keine
> Varianz besitzt.
>  Hallo, nochmal ich. :-)
>  
> Hier sind meine Ideen:
>  
> [mm]E(X)=\sqrt{1}\cdot \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{1^2}+\sqrt{2}\cdot\frac{6}{\pi^2}\cdot\frac{1}{2^2}+...=\frac{6}{\pi^2}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\sqrt{i}}{i^2}=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{3/2}}[/mm]
>  
> Da die Reihe konvergiert (da der Exponent im Nenner
> größer als 1 ist), existiert also der Erwartungswert.
>  
> Nun zu der Varianz.
>  
> Es gilt ja [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm].
>  
> Nun ist ja [mm]E(X)^2<\infty[/mm].
>  
> Jedoch ist
> [mm]E(X^2)=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}[/mm] und
> das ist ja die harmonische Reihe, die divergiert!
>  
> Also hat man (salopp gesagt):
>  
> [mm]\operatorname{Var}(X)=\infty-\text{endlicher Wert}=\infty[/mm]
> und deswegen hat X keine Varianz.
>  
>
>
>
> Ist das so korrekt, was ich aufgeschrieben habe?

[ok]


vg Luis

Bezug
                
Bezug
keine Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 09.11.2011
Autor: mikexx

Wieso sagt man eigentlich, daß X keine Varianz besitzt, wenn [mm]\operatorname{Var}(X)=\infty[/mm]?


Achso, cool, daß ich die Aufgabe richtig bewiesen habe; vielen Dank für Dein [ok].
Bezug
                        
Bezug
keine Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Mi 09.11.2011
Autor: luis52


> Wieso sagt man eigentlich, daß X keine Varianz besitzt,
> wenn [mm] $\operatorname{Var}(X)=\infty$? [/mm]
>  

Konvention. Man braucht in Anwendungen die Voraussetzung [mm]\operatorname{Var}(X)<\infty[/mm], z.B. beim Zentralen Grenzwertsatz oder bei der Standardisierung von $X_$.

vg Luis
Bezug
                                
Bezug
keine Varianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Mi 09.11.2011
Autor: mikexx

Okay.

Darf ich hier noch eine zweite Frage (ähnlich wie die obige) stellen oder soll ich einen neuen Thread dafür öffnen?
Bezug
                                        
Bezug
keine Varianz: bitte neuer Thread
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mi 09.11.2011
Autor: Loddar

Hallo mikexx!


Bitte eröffne für eine neue / eigenständige Frage einen neuen Thread - danke.


Gruß
Loddar

Bezug
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