kern & Basis der Fixpunktmenge < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR[/mm] [t] [mm] \to \IR[/mm] [t] gegeben durch F(p(t))=tp''(x)-p'(t)
a) Beweise, dass F ein Vektorraumhomomorphismus ist.
b) Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist.
c) Gib eine Basis der Fixpunktmenge von F an. |
Hallo zusammen
Habe gerade eben obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
Zu a)
Hier habe ich einfach gezeigt, dass F(g(t)+h(t))=F(g(h))+F(h(t)) & [mm] F(\alpha*g(t))= \alpha [/mm] * F(g(t))
Zu b) kern
Es gilt ja: injektiv [mm] \gdw [/mm] kern(F)={0}
Dafür habe ich ein bel. Polynom gewählt:
[mm] p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n
[/mm]
[mm] p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1}
[/mm]
[mm] p''(t)=2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2}
[/mm]
Nun in F eingesetzt:
[mm] F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1})
[/mm]
[mm] =2a_2t+6a_3t^2+...+n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-nt^{n-1}
[/mm]
[mm] =-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)t^{n-1}
[/mm]
Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm] t^n.
[/mm]
Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm] kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR} [/mm] ist.
Also, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
c) Bais der Fixpunktmenge
Es gilt: f(x)=x
Nun habe ich hierzu folgendes Polynom genommen:
[mm] p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3
[/mm]
[mm] p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2
[/mm]
[mm] p''(x)=2a_2+6a_3x
[/mm]
[mm] F(p(x))=x(2a_2+6a_3x)-(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=3a_3x^2-a_1
[/mm]
Nun muss gelten: [mm] 3a_3x^2-a_1 [/mm] = [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 [/mm]
Daraus folgt [mm] a_0=a_1=a_2=a_3=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Basis der Fixpunktmenge von F ist die leere Menge {}.
Also nun meine Fragen:
1) Stimmt b so?
2) Bei c habe ich ja nur ein Beispiel gemacht, wie kann ich dies allgemein zeigen. Oder reicht es so aus?
Vielen Dank für euere Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei F: [mm]\IR[/mm] [t][mm]\to \IR[/mm] [t]gegeben durch F(p(t))=tp''(x)-p'(t)
> a) Beweise, dass F ein Vektorraumhomomorphismus ist.
> b) Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist.
> c) Gib eine Basis der Fixpunktmenge von F an.
> Hallo zusammen
>
> Habe gerade eben obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
>
> Zu a)
> Hier habe ich einfach gezeigt, dass F(g(t)+h(t))=F(g(h))+F(h(t)) & [mm]F(\alpha*g(t))= \alpha[/mm] * F(g(t))
>
> Zu b) kern
> Es gilt ja: injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(F)={0}
> Dafür habe ich ein bel. Polynom gewählt:
> [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1}[/mm]
Hier fängts schon an mit Deiner grausamen Darstellung. Wo ist [mm] a_n [/mm] geblieben ??
> [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> Nun in F eingesetzt:
> [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1})[/mm]
> [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-nt^{n-1}[/mm]
> [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)t^{n-1}[/mm]
Wie gesagt: Deine Darstellung ist grausam, und falsch. Dass Du da den Übeblick verlierst, ist kein Wunder.
> Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
> Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm] ist.
> Also, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
Das stimmt zwar, richtig gezeigt hast Du es nicht.
Setze [mm] p(t)=t^2 [/mm] und berechne mal F(p).
>
> c) Bais der Fixpunktmenge
> Es gilt: f(x)=x
> Nun habe ich hierzu folgendes Polynom genommen:
> [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> [mm]p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2[/mm]
> [mm]p''(x)=2a_2+6a_3x[/mm]
> [mm]F(p(x))=x(2a_2+6a_3x)-(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=3a_3x^2-a_1[/mm]
> Nun muss gelten: [mm]3a_3x^2-a_1[/mm] = [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> Daraus folgt [mm]a_0=a_1=a_2=a_3=0[/mm]
Wieso machst Du das nur für Polynome vom Grad 3 ???
Sei p ein Polynom vom Grade n und es gelte F(p)=p, also
(*) $tp''(t)-p'(t)=p(t)$
Wenn Du nun annimmst, es wäre n>0, so steht in (*) auf der rechten Seite ein Polynom vom Grade n, aber auf der linken Seite ein Polynom vom Grade n-1.
Was folgt also ?
> [mm]\Rightarrow[/mm] Basis der Fixpunktmenge von F ist die leere Menge {}.
Ja, aber korrekt gezeigt hast Du das nicht.
FRED
>
> Also nun meine Fragen:
> 1) Stimmt b so?
> 2) Bei c habe ich ja nur ein Beispiel gemacht, wie kann ich dies allgemein zeigen. Oder reicht es so aus?
>
> Vielen Dank für euere Hilfe!
>
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Hallo fred
> > Sei F: [mm]\IR[/mm] [t][mm]\to \IR[/mm] [t]gegeben durch F(p(t))=tp''(x)-p'(t)
> > a) Beweise, dass F ein Vektorraumhomomorphismus ist.
> > b) Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist.
> > c) Gib eine Basis der Fixpunktmenge von F an.
> > Hallo zusammen
> >
> > Habe gerade eben obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
> >
> > Zu a)
> > Hier habe ich einfach gezeigt, dass F(g(t)+h(t))=F(g(h))+F(h(t)) & [mm]F(\alpha*g(t))= \alpha[/mm] * F(g(t))
> >
> > Zu b) kern
> > Es gilt ja: injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(F)={0}
> > Dafür habe ich ein bel. Polynom gewählt:
> > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1}[/mm]
>
> Hier fängts schon an mit Deiner grausamen Darstellung. Wo ist [mm]a_n[/mm] geblieben ??
Sorry. Da ist beim abschreiben, wohl was verloren gegangen:
[mm] p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}
[/mm]
>
>
> > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > Nun in F eingesetzt:
> > [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1})[/mm]
> > [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-nt^{n-1}[/mm]
> > [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)t^{n-1}[/mm]
>
>
> Wie gesagt: Deine Darstellung ist grausam, und falsch. Dass Du da den Übeblick verlierst, ist kein Wunder.
[mm] p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}
[/mm]
[mm] F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})
[/mm]
[mm] =2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1} =-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)a_n*t^{n-1}
[/mm]
Also verschwindet t als auch [mm] t^n, [/mm] oder nicht?
>
>
> > Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
> > Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm] ist.
> > Also, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
>
> Das stimmt zwar, richtig gezeigt hast Du es nicht.
>
> Setze [mm]p(t)=t^2[/mm] und berechne mal F(p).
[mm] p(t)=t^2
[/mm]
p'(t)=2t
p''(t)=2
F(p(t))=t*2-2*t=0
Also verschwindet [mm] t^2 [/mm]
Aber damit kann ich ja nicht den Kern von [mm] p(t)=a_0+a_1t+...a_nt^n [/mm] bestimmen.
>
>
> >
> > c) Bais der Fixpunktmenge
> > Es gilt: f(x)=x
> > Nun habe ich hierzu folgendes Polynom genommen:
> > [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > [mm]p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2[/mm]
> > [mm]p''(x)=2a_2+6a_3x[/mm]
> > [mm]F(p(x))=x(2a_2+6a_3x)-(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=3a_3x^2-a_1[/mm]
> > Nun muss gelten: [mm]3a_3x^2-a_1[/mm] = [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > Daraus folgt [mm]a_0=a_1=a_2=a_3=0[/mm]
>
>
>
>
> Wieso machst Du das nur für Polynome vom Grad 3 ???
>
> Sei p ein Polynom vom Grade n und es gelte F(p)=p, also
>
> (*) [mm]tp''(t)-p'(t)=p(t)[/mm]
>
> Wenn Du nun annimmst, es wäre n>0, so steht in (*) auf der rechten Seite ein Polynom vom Grade n, aber auf der linken Seite ein Polynom vom Grade n-1.
>
> Was folgt also ?
Ja eben, dass alle [mm] a_n=0 [/mm] sein müssen, wie ich oben an einem Beispiel für n=3 gezeigt habe...
>
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Basis der Fixpunktmenge von F ist die leere Menge {}.
>
> Ja, aber korrekt gezeigt hast Du das nicht.
>
> FRED
> >
> > Also nun meine Fragen:
> > 1) Stimmt b so?
> > 2) Bei c habe ich ja nur ein Beispiel gemacht, wie kann ich dies allgemein zeigen. Oder reicht es so aus?
> >
> > Vielen Dank für euere Hilfe!
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> > > Sei F: [mm]\IR[/mm] [t][mm]\to \IR[/mm] [t]gegeben durch F(p(t))=tp''(x)-p'(t)
> > > a) Beweise, dass F ein Vektorraumhomomorphismus ist.
> > > b) Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist.
> > > c) Gib eine Basis der Fixpunktmenge von F an.
> > > Hallo zusammen
> > >
> > > Habe gerade eben obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
> > >
> > > Zu a)
> > > Hier habe ich einfach gezeigt, dass F(g(t)+h(t))=F(g(h))+F(h(t)) & [mm]F(\alpha*g(t))= \alpha[/mm] * F(g(t))
> > >
> > > Zu b) kern
> > > Es gilt ja: injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(F)={0}
> > > Dafür habe ich ein bel. Polynom gewählt:
> > > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> > > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1}[/mm]
> >
> > Hier fängts schon an mit Deiner grausamen Darstellung. Wo ist [mm]a_n[/mm] geblieben ??
>
>
> Sorry. Da ist beim abschreiben, wohl was verloren gegangen:
> [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}[/mm]
>
>
> >
> >
> > > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > > Nun in F eingesetzt:
> > > [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1})[/mm]
> > > [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-nt^{n-1}[/mm]
> > > [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)t^{n-1}[/mm]
> >
> >
> > Wie gesagt: Deine Darstellung ist grausam, und falsch. Dass Du da den Übeblick verlierst, ist kein Wunder.
>
>
> [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})[/mm]
> [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1} =-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)a_n*t^{n-1}[/mm]
> Also verschwindet t als auch [mm]t^n,[/mm] oder nicht?
>
>
> >
> >
> > > Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
> > > Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm] ist.
> > > Also, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
> >
> > Das stimmt zwar, richtig gezeigt hast Du es nicht.
> >
> > Setze [mm]p(t)=t^2[/mm] und berechne mal F(p).
>
>
> [mm]p(t)=t^2[/mm]
> p'(t)=2t
> p''(t)=2
> F(p(t))=t*2-2*t=0
> Also verschwindet [mm]t^2[/mm]
Ja
> Aber damit kann ich ja nicht den Kern von [mm]p(t)=a_0+a_1t+...a_nt^n[/mm] bestimmen.
Das ist doch Unsinn ! Vielleicht meinst Du den Kern von F.
Den sollst Du aber gar nicht bestimmen. Die Aufgabe lautet:
" Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist. "
FRED
>
>
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> > >
> > > c) Bais der Fixpunktmenge
> > > Es gilt: f(x)=x
> > > Nun habe ich hierzu folgendes Polynom genommen:
> > > [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > > [mm]p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2[/mm]
> > > [mm]p''(x)=2a_2+6a_3x[/mm]
> > > [mm]F(p(x))=x(2a_2+6a_3x)-(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=3a_3x^2-a_1[/mm]
> > > Nun muss gelten: [mm]3a_3x^2-a_1[/mm] = [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > > Daraus folgt [mm]a_0=a_1=a_2=a_3=0[/mm]
> >
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> >
> >
> > Wieso machst Du das nur für Polynome vom Grad 3 ???
> >
> > Sei p ein Polynom vom Grade n und es gelte F(p)=p, also
> >
> > (*) [mm]tp''(t)-p'(t)=p(t)[/mm]
> >
> > Wenn Du nun annimmst, es wäre n>0, so steht in (*) auf der rechten Seite ein Polynom vom Grade n, aber auf der linken Seite ein Polynom vom Grade n-1.
> >
> > Was folgt also ?
>
> Ja eben, dass alle [mm]a_n=0[/mm] sein müssen, wie ich oben an einem Beispiel für n=3 gezeigt habe...
>
> >
> >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] Basis der Fixpunktmenge von F ist die leere Menge {}.
> >
> > Ja, aber korrekt gezeigt hast Du das nicht.
> >
> > FRED
> > >
> > > Also nun meine Fragen:
> > > 1) Stimmt b so?
> > > 2) Bei c habe ich ja nur ein Beispiel gemacht, wie kann ich dies allgemein zeigen. Oder reicht es so aus?
> > >
> > > Vielen Dank für euere Hilfe!
> > >
> >
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> > Hallo fred
> >
> > > > Sei F: [mm]\IR[/mm] [t][mm]\to \IR[/mm] [t]gegeben durch F(p(t))=tp''(x)-p'(t)
> > > > a) Beweise, dass F ein Vektorraumhomomorphismus ist.
> > > > b) Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist.
> > > > c) Gib eine Basis der Fixpunktmenge von F an.
> > > > Hallo zusammen
> > > >
> > > > Habe gerade eben obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
> > > >
> > > > Zu a)
> > > > Hier habe ich einfach gezeigt, dass F(g(t)+h(t))=F(g(h))+F(h(t)) & [mm]F(\alpha*g(t))= \alpha[/mm] * F(g(t))
> > > >
> > > > Zu b) kern
> > > > Es gilt ja: injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(F)={0}
> > > > Dafür habe ich ein bel. Polynom gewählt:
> > > > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> > > > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1}[/mm]
> > >
> > > Hier fängts schon an mit Deiner grausamen Darstellung. Wo ist [mm]a_n[/mm] geblieben ??
> >
> >
> > Sorry. Da ist beim abschreiben, wohl was verloren gegangen:
> > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}[/mm]
> >
> >
> > >
> > >
> > > > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > > > Nun in F eingesetzt:
> > > > [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1})[/mm]
> > > > [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-nt^{n-1}[/mm]
> > > > [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)t^{n-1}[/mm]
> > >
> > >
> > > Wie gesagt: Deine Darstellung ist grausam, und falsch. Dass Du da den Übeblick verlierst, ist kein Wunder.
> >
> >
> > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})[/mm]
> > [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1} =-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)a_n*t^{n-1}[/mm]
> > Also verschwindet t als auch [mm]t^n,[/mm] oder nicht?
> >
> >
> > >
> > >
> > > > Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
> > > > Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm] ist.
> > > > Also, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
> > >
> > > Das stimmt zwar, richtig gezeigt hast Du es nicht.
> > >
> > > Setze [mm]p(t)=t^2[/mm] und berechne mal F(p).
> >
> >
> > [mm]p(t)=t^2[/mm]
> > p'(t)=2t
> > p''(t)=2
> > F(p(t))=t*2-2*t=0
> > Also verschwindet [mm]t^2[/mm]
>
>
> Ja
>
>
> > Aber damit kann ich ja nicht den Kern von [mm]p(t)=a_0+a_1t+...a_nt^n[/mm] bestimmen.
>
> Das ist doch Unsinn ! Vielleicht meinst Du den Kern von F.
>
> Den sollst Du aber gar nicht bestimmen. Die Aufgabe lautet:
>
> " Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist. "
>
Ja du hast recht, aber wenn ich dennoch einen kern bestimmen möchte....???
Und was ist jetzt mit c???
Hab ja vorhin geschrieben:
Es folgt, dass [mm] a_n=0 [/mm] sein müssen, wie ich oben an einem Beispiel für n=3 gezeigt habe...
>
> FRED
> >
> >
> > >
> > >
> > > >
> > > > c) Bais der Fixpunktmenge
> > > > Es gilt: f(x)=x
> > > > Nun habe ich hierzu folgendes Polynom genommen:
> > > > [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > > > [mm]p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2[/mm]
> > > > [mm]p''(x)=2a_2+6a_3x[/mm]
> > > > [mm]F(p(x))=x(2a_2+6a_3x)-(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=3a_3x^2-a_1[/mm]
> > > > Nun muss gelten: [mm]3a_3x^2-a_1[/mm] = [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > > > Daraus folgt [mm]a_0=a_1=a_2=a_3=0[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Wieso machst Du das nur für Polynome vom Grad 3 ???
> > >
> > > Sei p ein Polynom vom Grade n und es gelte F(p)=p, also
> > >
> > > (*) [mm]tp''(t)-p'(t)=p(t)[/mm]
> > >
> > > Wenn Du nun annimmst, es wäre n>0, so steht in (*) auf der rechten Seite ein Polynom vom Grade n, aber auf der linken Seite ein Polynom vom Grade n-1.
> > >
> > > Was folgt also ?
> >
> > Ja eben, dass alle [mm]a_n=0[/mm] sein müssen, wie ich oben an einem Beispiel für n=3 gezeigt habe...
> >
> > >
> > >
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm] Basis der Fixpunktmenge von F ist die leere Menge {}.
> > >
> > > Ja, aber korrekt gezeigt hast Du das nicht.
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > Also nun meine Fragen:
> > > > 1) Stimmt b so?
> > > > 2) Bei c habe ich ja nur ein Beispiel gemacht, wie kann ich dies allgemein zeigen. Oder reicht es so aus?
> > > >
> > > > Vielen Dank für euere Hilfe!
> > > >
> > >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo fred
> > >
> > > > > Sei F: [mm]\IR[/mm] [t][mm]\to \IR[/mm] [t]gegeben durch F(p(t))=tp''(x)-p'(t)
> > > > > a) Beweise, dass F ein Vektorraumhomomorphismus ist.
> > > > > b) Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist.
> > > > > c) Gib eine Basis der Fixpunktmenge von F an.
> > > > > Hallo zusammen
> > > > >
> > > > > Habe gerade eben obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe:
> > > > >
> > > > > Zu a)
> > > > > Hier habe ich einfach gezeigt, dass F(g(t)+h(t))=F(g(h))+F(h(t)) & [mm]F(\alpha*g(t))= \alpha[/mm] * F(g(t))
> > > > >
> > > > > Zu b) kern
> > > > > Es gilt ja: injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(F)={0}
> > > > > Dafür habe ich ein bel. Polynom gewählt:
> > > > > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> > > > > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1}[/mm]
> > > >
> > > > Hier fängts schon an mit Deiner grausamen Darstellung. Wo ist [mm]a_n[/mm] geblieben ??
> > >
> > >
> > > Sorry. Da ist beim abschreiben, wohl was verloren gegangen:
> > > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > > > > Nun in F eingesetzt:
> > > > > [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+nt^{n-1})[/mm]
> > > > > [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-nt^{n-1}[/mm]
> > > > > [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)t^{n-1}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Wie gesagt: Deine Darstellung ist grausam, und falsch. Dass Du da den Übeblick verlierst, ist kein Wunder.
> > >
> > >
> > > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > > [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})[/mm]
> > > [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1} =-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)a_n*t^{n-1}[/mm]
> > > Also verschwindet t als auch [mm]t^n,[/mm] oder nicht?
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
> > > > > Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm] ist.
> > > > > Also, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
> > > >
> > > > Das stimmt zwar, richtig gezeigt hast Du es nicht.
> > > >
> > > > Setze [mm]p(t)=t^2[/mm] und berechne mal F(p).
> > >
> > >
> > > [mm]p(t)=t^2[/mm]
> > > p'(t)=2t
> > > p''(t)=2
> > > F(p(t))=t*2-2*t=0
> > > Also verschwindet [mm]t^2[/mm]
> >
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Aber damit kann ich ja nicht den Kern von [mm]p(t)=a_0+a_1t+...a_nt^n[/mm] bestimmen.
> >
> > Das ist doch Unsinn ! Vielleicht meinst Du den Kern von F.
> >
> > Den sollst Du aber gar nicht bestimmen. Die Aufgabe lautet:
> >
> > " Entschiede, ob die Abbildung F injektiv ist. "
> >
>
> Ja du hast recht, aber wenn ich dennoch einen kern bestimmen möchte....???
Dann tu es. Schreibs aber sauber auf.
> Und was ist jetzt mit c???
> Hab ja vorhin geschrieben:
> Es folgt, dass [mm]a_n=0[/mm] sein müssen, wie ich oben an einem Beispiel für n=3 gezeigt habe...
Ja, das stimmt
FRED
>
>
> >
> > FRED
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > c) Bais der Fixpunktmenge
> > > > > Es gilt: f(x)=x
> > > > > Nun habe ich hierzu folgendes Polynom genommen:
> > > > > [mm]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > > > > [mm]p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2[/mm]
> > > > > [mm]p''(x)=2a_2+6a_3x[/mm]
> > > > > [mm]F(p(x))=x(2a_2+6a_3x)-(a_1+2a_2x+3a_3x^2)=3a_3x^2-a_1[/mm]
> > > > > Nun muss gelten: [mm]3a_3x^2-a_1[/mm] = [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm]
> > > > > Daraus folgt [mm]a_0=a_1=a_2=a_3=0[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Wieso machst Du das nur für Polynome vom Grad 3 ???
> > > >
> > > > Sei p ein Polynom vom Grade n und es gelte F(p)=p, also
> > > >
> > > > (*) [mm]tp''(t)-p'(t)=p(t)[/mm]
> > > >
> > > > Wenn Du nun annimmst, es wäre n>0, so steht in (*) auf der rechten Seite ein Polynom vom Grade n, aber auf der linken Seite ein Polynom vom Grade n-1.
> > > >
> > > > Was folgt also ?
> > >
> > > Ja eben, dass alle [mm]a_n=0[/mm] sein müssen, wie ich oben an einem Beispiel für n=3 gezeigt habe...
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > [mm]\Rightarrow[/mm] Basis der Fixpunktmenge von F ist die leere Menge {}.
> > > >
> > > > Ja, aber korrekt gezeigt hast Du das nicht.
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > Also nun meine Fragen:
> > > > > 1) Stimmt b so?
> > > > > 2) Bei c habe ich ja nur ein Beispiel gemacht, wie kann ich dies allgemein zeigen. Oder reicht es so aus?
> > > > >
> > > > > Vielen Dank für euere Hilfe!
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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Hallo Fred
> > Ja du hast recht, aber wenn ich dennoch einen kern bestimmen möchte....???
>
> Dann tu es. Schreibs aber sauber auf.
Genau das habe ich doch oben versucht.....!
[mm] p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n
[/mm]
[mm] p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}
[/mm]
[mm] p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}
[/mm]
Nun in F eingesetzt:
[mm] F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})
[/mm]
[mm] =2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1}
[/mm]
[mm] =-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}
[/mm]
Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm] t^n.
[/mm]
Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm] kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR} [/mm] ist.
Sorry, aber ich kann es nicht schöner darstellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
>
> > > Ja du hast recht, aber wenn ich dennoch einen kern
> bestimmen möchte....???
> >
> > Dann tu es. Schreibs aber sauber auf.
>
> Genau das habe ich doch oben versucht.....!
> [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}[/mm]
> [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> Nun in F eingesetzt:
> [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})[/mm]
>
> [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1}[/mm]
>
> [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}[/mm]
>
> Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
Was meinst Du denn damit ????
> Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm]
> ist.
Das stimmt nicht ! Setze mal q(t):=t. Dann ist F(q)(t)=-1 !!!
>
> Sorry, aber ich kann es nicht schöner darstellen...
Du hattest doch:
[mm] F(p(t))=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}
[/mm]
Damit hat man:
p [mm] \in [/mm] Kern(F) [mm] \gdw a_1=0, a_3=a_4=...=a_n=0 \gdw p(t)=a_2t^2+a_0
[/mm]
Das kannst Du auch so sehen:
Ist p [mm] \in [/mm] Kern(F), so ist p'(t)=tp''(t) für alle t.
Differenzieren wir, so bekommen wir:
p''(t)=p''(t)+tp'''(t) für alle t.
Das bedeutet: p'''(t)=0 für alle t.
Damit muß notwendigerweise p die folgende Gestalt haben:
[mm] p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2.
[/mm]
Aber Vorsicht: nicht jedes p der obigen Gestallt geh. zum Kern:
Ist [mm] p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2, [/mm] so ist
[mm] F(p(t))=-a_1.
[/mm]
Fazit 1: p [mm] \in [/mm] Kern(F) [mm] \gdw p(t)=a_0+a_2t^2.
[/mm]
Fazit 2: auch in Aufgaben zur Linearen Algebra darf und soll man Analysiswissen einbringen
Gruß FRED
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> > Hallo Fred
> >
> > > > Ja du hast recht, aber wenn ich dennoch einen kern
> > bestimmen möchte....???
> > >
> > > Dann tu es. Schreibs aber sauber auf.
> >
> > Genau das habe ich doch oben versucht.....!
> > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}[/mm]
> > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > Nun in F eingesetzt:
> >
> [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})[/mm]
> >
> >
> [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1}[/mm]
> >
> > [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}[/mm]
> >
> > Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
>
>
> Was meinst Du denn damit ????
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>
> > Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm]
> > ist.
>
> Das stimmt nicht ! Setze mal q(t):=t. Dann ist F(q)(t)=-1
> !!!
> >
> > Sorry, aber ich kann es nicht schöner darstellen...
>
> Du hattest doch:
>
> [mm]F(p(t))=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}[/mm]
>
> Damit hat man:
>
> p [mm]\in[/mm] Kern(F) [mm]\gdw a_1=0, a_3=a_4=...=a_n=0 \gdw p(t)=a_2t^2+a_0[/mm]
>
> Das kannst Du auch so sehen:
>
> Ist p [mm]\in[/mm] Kern(F), so ist p'(t)=tp''(t) für alle t.
>
> Differenzieren wir, so bekommen wir:
>
> p''(t)=p''(t)+tp'''(t) für alle t.
>
> Das bedeutet: p'''(t)=0 für alle t.
>
> Damit muß notwendigerweise p die folgende Gestalt haben:
>
> [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2.[/mm]
>
> Aber Vorsicht: nicht jedes p der obigen Gestallt geh. zum
> Kern:
>
> Ist [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2,[/mm] so ist
>
> [mm]F(p(t))=-a_1.[/mm]
>
> Fazit 1: p [mm]\in[/mm] Kern(F) [mm]\gdw p(t)=a_0+a_2t^2.[/mm]
>
Vielen Dank für deine ausfürhlichen Antworten.
Aber was ich nicht verstehe: Einmal schreibst du:
p [mm] \in [/mm] Kern(F) [mm] \gdw p(t)=a_2t^2+a_0
[/mm]
p [mm] \in [/mm] Kern(F) [mm] \gdw p(t)=a_0+a_2t^2.
[/mm]
Also was ist den jetzt der kern?
> Fazit 2: auch in Aufgaben zur Linearen Algebra darf und
> soll man Analysiswissen einbringen
>
> Gruß FRED
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 07.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo Fred
> > >
> > > > > Ja du hast recht, aber wenn ich dennoch einen kern
> > > bestimmen möchte....???
> > > >
> > > > Dann tu es. Schreibs aber sauber auf.
> > >
> > > Genau das habe ich doch oben versucht.....!
> > > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3....+a_nt^n[/mm]
> > > [mm]p'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1}[/mm]
> > > [mm]p''(t)=2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2}[/mm]
> > > Nun in F eingesetzt:
> > >
> >
> [mm]F(p(t))=t*(2a_2+6a_3t+...+a_n*n(n-1)t^{n-2})-(a_1+2a_2t+3a_3t^2+...+a_n*nt^{n-1})[/mm]
> > >
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> [mm]=2a_2t+6a_3t^2+...+a_n*n(n-1)t^{n-1}-a_1-2a_2t-3a_3t^2-...-a_n*nt^{n-1}[/mm]
> > >
> > > [mm]=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}[/mm]
> > >
> > > Also verschwindet ja sowohl das t als auch das [mm]t^n.[/mm]
> >
> >
> > Was meinst Du denn damit ????
> >
> >
> > > Daraus folgt doch jetzt, dass der [mm]kern(F)={a*t+b*t^n: a,b\in \IR}[/mm]
> > > ist.
> >
> > Das stimmt nicht ! Setze mal q(t):=t. Dann ist F(q)(t)=-1
> > !!!
> > >
> > > Sorry, aber ich kann es nicht schöner darstellen...
> >
> > Du hattest doch:
> >
> > [mm]F(p(t))=-a_1+3a_3t^2+...+(n(n-1)-n)*a_n*t^{n-1}[/mm]
> >
> > Damit hat man:
> >
> > p [mm]\in[/mm] Kern(F) [mm]\gdw a_1=0, a_3=a_4=...=a_n=0 \gdw p(t)=a_2t^2+a_0[/mm]
>
> >
> > Das kannst Du auch so sehen:
> >
> > Ist p [mm]\in[/mm] Kern(F), so ist p'(t)=tp''(t) für alle t.
> >
> > Differenzieren wir, so bekommen wir:
> >
> > p''(t)=p''(t)+tp'''(t) für alle t.
> >
> > Das bedeutet: p'''(t)=0 für alle t.
> >
> > Damit muß notwendigerweise p die folgende Gestalt haben:
> >
> > [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2.[/mm]
> >
> > Aber Vorsicht: nicht jedes p der obigen Gestallt geh. zum
> > Kern:
> >
> > Ist [mm]p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2,[/mm] so ist
> >
> > [mm]F(p(t))=-a_1.[/mm]
> >
> > Fazit 1: p [mm]\in[/mm] Kern(F) [mm]\gdw p(t)=a_0+a_2t^2.[/mm]
> >
>
>
> Vielen Dank für deine ausfürhlichen Antworten.
> Aber was ich nicht verstehe: Einmal schreibst du:
> p [mm]\in[/mm] Kern(F) [mm]\gdw p(t)=a_2t^2+a_0[/mm]
> p [mm]\in[/mm] Kern(F) [mm]\gdw p(t)=a_0+a_2t^2.[/mm]
Meinst Du das wirklich ernst ????????????????????????????
Also gut: begeben wir uns in die Unterstufe (oder Grundschule ?). Da lernt man:
a+b=b+c für a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Damit ist auch
[mm] a_0+a_2t^2=a_2t^2+a_0
[/mm]
und zwar ist es völlig schnuppe, was [mm] a_0,a_2 [/mm] und t ist, Hauptsache reelle Zahlen.
>
> Also was ist den jetzt der kern?
[mm] Kern(F)=\{a_0+a_2t^2: a_0,a_2 \in \IR\}
[/mm]
FRED oder DERF oder FERD oder REFD oder ....
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>
> > Fazit 2: auch in Aufgaben zur Linearen Algebra darf und
> > soll man Analysiswissen einbringen
> >
> > Gruß FRED
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Nein, sorry....ich habe etwas falsch gelesen...tut mir leid........ :( :( :(
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