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kern und bild: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Di 08.01.2013
Autor: zjay

Aufgabe
Es sei f:G [mm] \rightarrow [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, [mm] e_{G} [/mm] und [mm] e_{H} [/mm] seien die neutralen Elemente von G bzw. H.

Der Kern von f ist definiert als

Ker f := { g [mm] \in [/mm] G | f(g) = [mm] e_{H} [/mm] }

Das Bild von f ist

Im f := f(G)= {f(g) [mm] \in [/mm] H | g [mm] \in [/mm] G}




Das ist die Definition. Das folgende Beispiel zur Definition verstehe ich nicht ganz. Ich habe mit rot meine Fragen editiert.

Es sei H:=C[a,b] := {f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] | f ist stetig}.

heißt dass, das die Menge H per Definition die Menge C ist, die ein geschlossenes Intervall von a nach b ist? Dann wird die Menge C als stetige Abbildung auf [mm] \IR [/mm] definiert? Das ist alles irgendwo noch nachvollziehbar, selbst wenn es ein ungewöhnliches Beispiel ist.



Auf H definieren wir eine Verknüpfung + durch

(f+g)(x) := f(x)+g(x)

Dann ist (C[a,b],+) eine Gruppe. Ferner sei

[mm] G:=C^{1}[a,b] [/mm] := {f:[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] | f ist stetig differenzierbar}.

Dann ist G eine Untergruppe von H. Die Abbildung

[mm] \frac{d}{dx} [/mm] : G [mm] \rightarrow [/mm] H
                        f [mm] \rightarrow f'=\frac{df}{dx} [/mm]

warum wird hier [mm] \frac{d}{dx} [/mm] geschrieben? Normalerweise steht an dieser Stelle immer f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y oder so. Dass dies in diesem Beispiel nicht geht, da bei C[a,b] schon f für die Abbildung verwendet wurde, sehe ich ein. Aber warum nennt man die Abbildung gerade [mm] \frac{d}{dx} [/mm] und nicht einfach p:G [mm] \rightarrow [/mm] H?
Noch weniger verstehe ich das [mm] f'=\frac{df}{dx} [/mm] ...  


ist ein Homomorphismus, denn es gilt

(f+g)'=f'+g'.

warum gilt das denn? Aus welcher der gegebenen Voraussetzugen, folgt, dass (f+g)'=f'+g' ist?

Es gilt

Ker [mm] \frac{d}{dx}={f | f \equiv c} [/mm]


mfg,

zjay

        
Bezug
kern und bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 08.01.2013
Autor: fred97


> Es sei f:G [mm]\rightarrow[/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, [mm]e_{G}[/mm]
> und [mm]e_{H}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

seien die neutralen Elemente von G bzw. H.

>  
> Der Kern von f ist definiert als
>  
> Ker f := { g [mm]\in[/mm] G | f(g) = [mm]e_{H}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> Das Bild von f ist
>  
> Im f := f(G)= {f(g) [mm]\in[/mm] H | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

G}

>  
>
> Das ist die Definition. Das folgende Beispiel zur
> Definition verstehe ich nicht ganz. Ich habe mit rot meine
> Fragen editiert.
>  
> heißt dass, das die Menge H per Definition die Menge C
> ist, die ein geschlossenes Intervall von a nach b ist? Dann
> wird die Menge C als stetige Abbildung auf [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

definiert?

> Das ist alles irgendwo noch nachvollziehbar, selbst wenn es
> ein ungewöhnliches Beispiel ist.
>  Es sei H:=C[a,b] := {f:[a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

| f ist

> stetig}.


Es steht doch da , was H sein soll !  H besteht aus allen Funktionen f:[a,b] \to \IR, die auf dem Intervall [a,b] stetig sind.


Für dies Menge von Funktionen schreibt man auch C[a,b].



>  
>
> Auf H definieren wir eine Verknüpfung + durch
>
> (f+g)(x) := f(x)+g(x)
>  
> Dann ist (C[a,b],+) eine Gruppe. Ferner sei
>  
> [mm]G:=C^{1}[a,b][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= {f:[a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

| f ist stetig

> differenzierbar}.
>  
> Dann ist G eine Untergruppe von H. Die Abbildung
>
> [mm]\frac{d}{dx}[/mm] : G [mm]\rightarrow[/mm] H
>                          f [mm]\rightarrow f'=\frac{df}{dx}[/mm]
>  
> warum wird hier [mm]\frac{d}{dx}[/mm] geschrieben? Normalerweise
> steht an dieser Stelle immer f:X [mm]\rightarrow[/mm] Y oder so.
> Dass dies in diesem Beispiel nicht geht, da bei C[a,b]
> schon f für die Abbildung verwendet wurde, sehe ich ein.
> Aber warum nennt man die Abbildung gerade [mm]\frac{d}{dx}[/mm] und
> nicht einfach p:G [mm]\rightarrow[/mm] H?
> Noch weniger verstehe ich das [mm]f'=\frac{df}{dx}[/mm] ...

Es ist ganz einfach: Wir nennen die Abbildung, wie Du es vorgeschlagen hast einfach p, also  p:G [mm]\rightarrow[/mm] H.

    Diese Abbildung ist so definiert:  p(f):=f'

Jeder stetig differenzierbaren Funktion wird also durch p ihre Ableitung zugeordnet.


>  
> ist ein Homomorphismus, denn es gilt
>  
> (f+g)'=f'+g'.
>  
> warum gilt das denn? Aus welcher der gegebenen
> Voraussetzugen, folgt, dass (f+g)'=f'+g' ist?


Das ist eine elementare Ableitungsregel !!!

Die Ableitung einer Summe ist = Summe der Ableitungen.

Wie hast Du denn bislang eine Funktion der Form

    [mm] f(x)=x^2+cos(x) +x^4+2 [/mm]

differenziert ?

Eben: summandenweise

FRED

>  
> Es gilt
>  
> Ker [mm]\frac{d}{dx}={f | f \equiv c}[/mm]
>  
>
> mfg,
>  
> zjay


Bezug
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