kleiner Beweis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ggg |
Ich hab hier ein Beweis aufgeschrieben, jedoch ist mir irgendwo ein Fehler unterlaufen, aber ich weiß net wo.
Beweis:
Behauptung: [mm] \integral{f(mx+b) dx}\not=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C
[/mm]
[mm] F(x):=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C
[/mm]
Wir differenzieren zunächst den ganzen rechten Ausdruck:
[mm] F'(x)=(\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C)'=\bruch{1}{m}*F'(mx+b)*m+0=F'(mx+b)=f(mx+b).
[/mm]
Also erkenn wir das [mm] \integral{f(mx+b) dx}\not=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C [/mm] nicht wahr ist, da sich die Srammfunktion auf den Integrand zurückführen lässt,
und es gilt dann [mm] \integral{f(mx+b) dx}=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C
[/mm]
Ich meine der Fehler ist ganz am Anfang des Beweises.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Der einzige Fehler ist, dass du versuchst, etwas Wahres zu widerlegen. ;)
$ [mm] \integral{f(mx+b) dx}=\bruch{1}{m}\cdot{}F(mx+b)+C [/mm] $ ist schon richtig so.
Wieso wolltest du das denn widerlegen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ggg |
Ich wollte einen Beweis durch Widerspruch ausprobieren, aber ich war mir nicht so sicher, ob das richtig wäre. Aber ist das wirklich so richtig. Ich meine das hier nicht etwas stimmen kann [mm] F(x):=\bruch{1}{m}\cdot{}F(mx+b)+C, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich wollte einen Beweis durch Widerspruch ausprobieren,
> aber ich war mir nicht so sicher, ob das richtig wäre. Aber
> ist das wirklich so richtig. Ich meine das hier nicht etwas
> stimmen kann [mm]F(x):=\bruch{1}{m}\cdot{}F(mx+b)+C,[/mm] oder?
das solltest Du so nicht schreiben. [mm] $F\,$ [/mm] steht oben wohl für eine Stammfunktion von [mm] $f\,,$ [/mm] aber Du meinst eigentlich, dass für die Funktion
$$x [mm] \mapsto [/mm] f(mx+b)=:g(x)$$
eine Funktion der Art
$$x [mm] \mapsto \frac{1}{m}F(mx+b)+C=:G(x)$$
[/mm]
dann eine Stammfunktion ist, wobei [mm] $C\,$ [/mm] eine beliebige Konstante ist (und, wie schon oben erwähnt, [mm] $F\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f\,$ [/mm] sei, also $F'=f$ gelten soll). Also [mm] $G(x):=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ [/mm] ist eine Stammfunktion von [mm] $g(x):=f(mx+b)\,.$
[/mm]
Die 'Gleichung oder Definition' [mm] $F(x)=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ [/mm] ist nur in den seltensten Fällen sinnvoll, denn dort steht sowohl rechts als auch links die Funktion [mm] $F\,,$ [/mm] außerdem würde die Gleichung dann
[mm] $$F(x)=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] f(x)=F'(x)=F'(mx+b)=f(mx+b)$$
implizieren.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab hier ein Beweis aufgeschrieben, jedoch ist mir
> irgendwo ein Fehler unterlaufen, aber ich weiß net wo.
>
> Beweis:
> Behauptung: [mm]\integral{f(mx+b) dx}\not=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C[/mm]
>
> [mm]F(x):=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C[/mm]
> Wir differenzieren zunächst den ganzen rechten Ausdruck:
>
> [mm]F'(x)=(\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C)'=\bruch{1}{m}*F'(mx+b)*m+0=F'(mx+b)=f(mx+b).[/mm]
> Also erkenn wir das [mm]\integral{f(mx+b) dx}\not=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C[/mm]
> nicht wahr ist, da sich die Srammfunktion auf den
> Integrand zurückführen lässt,
> und es gilt dann [mm]\integral{f(mx+b) dx}=\bruch{1}{m}*F(mx+b)+C[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ich meine der Fehler ist ganz am Anfang des Beweises.
wie Teufel schon sagte: Anstatt des $\not=$ gehört oben ein $=$ hin (wobei ich es bevorzuge, $\int f$ als die Menge (Äquivalenzklasse) aller Stammfunktionen von $f\,$ zu bezeichnen, aber nun gut, ein Repräsentant repräsentiert dann eh die ganze Klasse).
Übrigens kannst Du das auch 'vorwärtsrechnen', substituiere $y:=mx+b$, dann ist $\text{d}y=m\;\text{d}x$:
$$\int f(mx+b)\;\text{d}x=\frac{1}{m} \int f(y)\;\text{d}y=\frac{1}{m}(\left.F(y)+\tilde{C}\right|_{y=mx+b})=\frac{1}{m}F(mx+b)+C\;\;\text{ (mit }C=\frac{\tilde{C}}{m}\text{)}\,.$$
(Das gilt jedenfalls alles für $m \not=0$.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für den Hinweis, den Beweis kannte ich noch nicht. Aber ist es dann allgemein möglich einen Beweis durch Widerspruch in diesem Fall aufzustellen.
Meine Idee war ja auch das als [mm] \not= [/mm] zu stellen, damit ich aus dieser Absurdität auf der Wahrheit komme, also auf dem richten Beweis, das es doch = sein muss. Ich meine das der Beweis und die Idee richtig sei, jedoch diese stelle
[mm] F(x):=\bruch{1}{m}\cdot{}F(mx+b)+C [/mm] kritisch für den beweis wäre, aber könnte das nicht so richtig nachvollziehen, was daran kritisch sein soll.
Oh ich revidiere erstmal meine Frage da ich eine Antwort von dir übersprungen bin. Entschuldigung dafür
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mo 23.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke Marcel für deine Hilfe. Habe es jetzt verstanden
Gruß ggg
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