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Hallo an alle!
Es geht um das BICGSTAB(2)-Verfahren zur Lösung von [mm]Ax=b[/mm], in dessen Verlauf es notwendig wird, zwei Skalare [mm]\alpha,\ \beta[/mm] zu bestimmen. Die Formel lautet:
[mm]\min_{\alpha , \beta}{\|Aw_1\alpha +w_1\beta +w_2(1-\beta)\|}[/mm]
Die Lösung dieses Problemes wird über kleinste Quadrate berechnet und führt auf ein [mm]2\times 2[/mm] Gleichungssystem, das dann leicht zu lösen ist. Und genau da stehe ich gerade auf dem Schlauch: wie bastel ich mir aus der Minimierung besagtes LGS? Ach ja, [mm]A[/mm] ist eine Matrix und [mm]w_1, w_2[/mm] sind Vektoren.
Danke an alle Helfer!
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Hallo,
> Hallo an alle!
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> Es geht um das BICGSTAB(2)-Verfahren zur Lösung von [mm]Ax=b[/mm],
> in dessen Verlauf es notwendig wird, zwei Skalare [mm]\alpha,\ \beta[/mm]
> zu bestimmen. Die Formel lautet:
> [mm]\min_{\alpha , \beta}{\|Aw_1\alpha +w_1\beta +w_2(1-\beta)\|}[/mm]
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> Die Lösung dieses Problemes wird über kleinste Quadrate
> berechnet und führt auf ein [mm]2\times 2[/mm] Gleichungssystem, das
> dann leicht zu lösen ist. Und genau da stehe ich gerade auf
> dem Schlauch: wie bastel ich mir aus der Minimierung
> besagtes LGS? Ach ja, [mm]A[/mm] ist eine Matrix und [mm]w_1, w_2[/mm] sind
> Vektoren.
Innerhalb deiner normstriche steht ja ein vektor in (linearer) abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] bildest du nun die euklidische norm dieses vektors (oder besser das quadrat dieser norm, dann bist du die wurzel los) erhältst du eine summe, in der [mm] \alpha^2 [/mm] und [mm] \beta^2 [/mm] auftauchen. diese summe (die quadrierte norm) gilt es zu minimieren. dazu müssen aber die partiellen ableitungen nach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] null sein. durch das nullsetzen der partiellen ableitungen erhält man dann das lineare gleichungssystem.
Gruß
Matthias
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Ja soweit ist das ja auch einleuchtend. Wenn ich aber explizit die Größe der Matrix und der Vektoren nicht kenne, muße es ja trotzdem eine explizite Bildungsvorschrift für die Skalare geben. Eben die Umwandlung der (quadrierten) Norm in ihre Einzelteile um die Skalare zu extrahieren, fällt mir schwer. Genau das bräuchte ich aber, wenn ich tatsächlich die Skalare in einer Matlab-Berechnung nutzen möchte.
Konkret: Bezeichne ich [mm]Aw_1 = u_1[/mm] so liefert mir die quadrierte Norm:
[mm](u^{1}_{1}\alpha+w_{1}^{1}\beta+w_{2}^{1}-w_{2}^{1}\beta)^2 + \cdots + (u^{n}_{1}\alpha+w_{1}^{n}\beta+w_{2}^{n}-w_{2}^{n}\beta)^2[/mm] wobei n die Dimension angibt.
Und dafür bräuchte ich eine vernünftige Schreibweise, um eben die ersten Ableitungen bilden, null setzen und so eine Vorschrift für [mm]\alpha \ \text{und} \ \beta[/mm] erhalten zu können.
Danke für neuerliche Hilfe im Voraus, ich habe irgendwie das Gefühl den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen... *seufz*
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Gut,
> Ja soweit ist das ja auch einleuchtend. Wenn ich aber
> explizit die Größe der Matrix und der Vektoren nicht kenne,
> muße es ja trotzdem eine explizite Bildungsvorschrift für
> die Skalare geben. Eben die Umwandlung der (quadrierten)
> Norm in ihre Einzelteile um die Skalare zu extrahieren,
> fällt mir schwer. Genau das bräuchte ich aber, wenn ich
> tatsächlich die Skalare in einer Matlab-Berechnung nutzen
> möchte.
> Konkret: Bezeichne ich [mm]Aw_1 = u_1[/mm] so liefert mir die
> quadrierte Norm:
>
> [mm](u^{1}_{1}\alpha+w_{1}^{1}\beta+w_{2}^{1}-w_{2}^{1}\beta)^2 + \cdots + (u^{n}_{1}\alpha+w_{1}^{n}\beta+w_{2}^{n}-w_{2}^{n}\beta)^2[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> wobei n die Dimension angibt.
>
du hast also
$N(\alpha,\beta)=\summe_{i=1}^n (u^{i}_{1}\alpha+w_{1}^{i}\beta+w_{2}^{i}-w_{2}^{i}\beta)^2$,
wobei N die quadrierte Norm in Abhängigkeit von \alpha und \beta sein soll.
Berechne nun die partiellen ableitungen
$\frac{\partial N}{\partial \alpha}=\summe_{i=1}^n 2\cdot (u^{i}_{1}\alpha+w_{1}^{i}\beta+w_{2}^{i}-w_{2}^{i}\beta) \cdot u^i_1$
$=\alpha\cdot \left( \summe_{i=1}^n 2(u_1^i)^2\right ) + \beta \cdot \left(\summe_{i=1}^n 2 u_1^i (w_1^i-w^i_2)\right) + \summe_{i=1}^n 2 u_1^i w_2^i $
setzt du das jetzt noch gleich null, hast du deine erste lineare gleichung. ableiten nach \beta geht analog.
> Und dafür bräuchte ich eine vernünftige Schreibweise, um
> eben die ersten Ableitungen bilden, null setzen und so eine
> Vorschrift für [mm]\alpha \ \text{und} \ \beta[/mm] erhalten zu
> können.
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> Danke für neuerliche Hilfe im Voraus, ich habe irgendwie
> das Gefühl den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen...
> *seufz*
Jetzt klarer? 
Gruß
Matthias
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Ach na klar *an den Kopf klatsch* Die zwei kann ich noch aus jeder Summe rausziehen und bekomme, rückwärts übersetzt:
[mm]N(\alpha,\beta)=2\alpha\|Aw_{1}\|+2\beta\left+2\left[/mm]
Vielen Dank, das wars, wonach ich suchte!!
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