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| Aufgabe | Werden zwei Elektroden, zwischen denen eine konstante Spannung U anliegt,
ins Wasser getaucht, dann fließt zwischen ihnen erfahrungsgemäß elektrischer
Strom der Stromstärke I, die in der Einheit Ampere [A] angegeben wird.
Wird die Stromstärke I während einer Zeitdauer t (die in Sekunden angegeben ist)
aufrecht erhalten, dann lässt sich die durchgeflossene elektrische Ladung Q, die
mit der Einheit Coulomb [C] ausgedrückt wird, durch
(1) Q = I * t
bestimmen.
Dabei wird an der negativen Elektrode Wasserstoff ausgeschieden. Modellhaft stellt man
sich vor, dass ein Proton, sobald es an der Elektrode angelangt ist, ein Elektron aufnimmt
und im entstandenen Wasserstoffatom entweicht.
Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass der Versuch beim Druck p = 105 N/m2 und
bei der Temperatur T = 300 K durchgeführt wird. Nun ist der Druck approximativ mit der
Temperatur durch die Zustandsgleichung des idealen Gases verknüpft:
(2) 2 * p * V = N * kB * T
( N - Anzahl der Wasserstoffatome ; die Anzahl der Wasserstoffmoleküle ist dann N/2
kB = 1,38*10 -23 J/K (Boltzmann - Konstante)
V - das Volumen in m3, das vom Gas eingenommen wird )
Unter der Annahme, dass die gesamte Ladung Q aus (1) in Form von N
Elektronen der Ladung e transportiert wurde, folgt durch Kombination
von (1), (2) und
(3) Q = N * e
dass der nach der Zeitdauer t ausgeschiedene Wasserstoff das Volumen
(4) V = (kB * T * I ) / (2 * p*e) * t
Zahlenpaare [mm] (t_i,V_i) [/mm] i=1,...,n
[mm] t_i [/mm] ZEitpunkt und [mm] V_i [/mm] Volumendes bis zu diesem Zeitpunkt ausgeschiedenen Wasserstoffs in [mm] m^3
[/mm]
der Koeffizient [mm] \gamma [/mm] := (kB * T * I ) / (2 * p*e)
lässt sich mit Hilfe des KQ-Schätzerz an die Daten [mm] (t_i,V_i) [/mm] anpassen geben sie diesen an!
Entwickeln sie einen Schätzer eq für dei Elektronenladung e unter Verwendung des Kq Schätzers für [mm] \gamma [/mm] |
Jetzt habe ich schon hin und her Überlegt und ich weiß nicht wie mein Schätzer aussehen soll
es heißt ja dann [mm] V=\gamma*t
[/mm]
wenn ich nach gamma umstelle erhalte ich ein [mm] \gamma_i [/mm] Werte aber wie Schätze ich jetzt damit eq?
Es wäre toll wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Mo 19.01.2009 | | Autor: | lagger |
Hi!
Trotz meiner geringen Physikkenntnisse versuch ich mal was zu helfen.
Du misst also das Volumen [mm] V_i [/mm] zu irgendwelchen Zeiten [mm] t_i [/mm] , und aus diesen Daten willst du erstmal nen Schätzer für [mm] \gamma [/mm] bekommen. Dazu reicht aber nur umstellen nicht, da deine Regressionsgleichung wie folgt aussieht:
[mm] V_i [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] t_i [/mm] + [mm] u_t
[/mm]
Das u ist ein Fehlerterm und geht davon aus das die Messungen nicht 100% sind. Der OLS Schätzer für [mm] \gamma [/mm] bekommst du wenn due die Summer der Fehlerquadrate minimierst, dann bekommst du die Normalengleichungen...bla bla...etwas umstellen (steht z.B. im Deuflhard/Homann). (Ich hab es grad im Buch von Peter Hackl - Einführung in die Ökonometrie nachgeschaut)
Dein Schätzer in diesem Fall ist dann
[mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{s_tv}{s_t^2}
[/mm]
(bekomm den zweiten tiefgestellten Index nicht hin, mit klammern ging es auch nit, aber es sollte klar sein was im Zähler steht)
mit
s_tv = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (t_i-\mu_t)(V_i-\mu_v)
[/mm]
(keine Ahnung warum er es hier nicht tiefstellt???)
(die [mm] \mu's [/mm] sind übrigens die jeweiligen Mittelwerte)
der Stichprobenkovarianz
und
[mm] s_t^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (t_i-\mu_t)^2
[/mm]
der Stichprobenvarianz.
(Schätzer für die Konstante, auch wenn die hier wahrscheinlich Null ist wie ich mal annehme)
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \mu_v [/mm] - [mm] \gamma [/mm] * [mm] \mu_t
[/mm]
Und deinen Schätzer für [mm] \gamma [/mm] kannst du dann in deine Gleichung mit den ganzen KOnstanten einsetzen und nach e umstellen. Was ich nicht verstanden habe ist was du mit Schätzer für eq meinst, was soll eq sein, meinst du damit einfach e die Elektronenladung und wolltest keine Verwechslung mit dem Euler zulassen???
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