kleinste sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | Es sei [mm] X=\IR^1 [/mm] und [mm] A_1=\{0\} [/mm] sowie [mm] A_2=[1,2] [/mm] seien Teilmengen von $X$. Bestimmen Sie die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra $\mathfrak{A}$ [/mm] über $X$, die [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] enthält. (Anzahl und Darstellung der Elemente) |
| Aufgabe 2 | | [mm] \mathfrak{S} [/mm] sei das System aller Teilmengen von [mm] \IR^1 [/mm] der Gestalt [mm] ]-\infty,a[ [/mm] für alle [mm] a\in\IR^1. [/mm] Bestimmen Sie die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die [mm] \mathfrak{S} [/mm] enthält. |
Schönen guten Tag,
bei der Nummer 1) bin ich mir recht sicher.
Ich habe folgendes ermittelt:
[mm] \mathfrak{A}=\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}
[/mm]
Begründung: Zunächst muss die Grundmenge und die leere Menge enthalten sein. Dann müssen die Mengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] selbst drin sein, sowie deren Komplemente. Die Vereinigung von den Mengen ist selbst schon wieder in den Mengen, daher muss man diese nicht noch mit hinzufügen.
Somit habe ich 6 Elemente mit obiger Darstellung.
Nummero 2:
Im Grunde ist es doch dasselbe Prinzip, nicht?
[mm] \mathfrak{A}_\sigma=\{\emptyset, \ \IR^1, \ (-\infty,a), \ [a,\infty)\}
[/mm]
Ehrlich gesagt zweifel ich eben an der Richtigkeit. Über konstruktiven Input freue ich mich daher.
Ich bedanke mich bei euch!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mo 03.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Richie,
> bei der Nummer 1) bin ich mir recht sicher.
> Ich habe folgendes ermittelt:
> [mm]\mathfrak{A}=\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}[/mm]
>
> Begründung: Zunächst muss die Grundmenge und die leere
> Menge enthalten sein. Dann müssen die Mengen [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm]
> selbst drin sein, sowie deren Komplemente. Die Vereinigung
> von den Mengen ist selbst schon wieder in den Mengen, daher
> muss man diese nicht noch mit hinzufügen.
Doch, z.B. die Vereinigung [mm] $\{0\}\cup[1,2]$ [/mm] liegt in [mm] $\mathfrak{A}$, [/mm] aber nicht in [mm] $\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}$.
[/mm]
> Nummero 2:
> Im Grunde ist es doch dasselbe Prinzip, nicht?
> [mm]\mathfrak{A}_\sigma=\{\emptyset, \ \IR^1, \ (-\infty,a), \ [a,\infty)\}[/mm]
Beachte: [mm] $\mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\}$ [/mm] enthält schon unendlich viele Intervalle.
Durch wiederholtes endliches oder abzählbares Vereinigen und Komplement-Bilden kommen da viele Elemente der sigma-Algebra zusammen...
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
> Hallo Richie,
>
>
> > bei der Nummer 1) bin ich mir recht sicher.
> > Ich habe folgendes ermittelt:
> > [mm]\mathfrak{A}=\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}[/mm]
>
> >
> > Begründung: Zunächst muss die Grundmenge und die leere
> > Menge enthalten sein. Dann müssen die Mengen [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm]
> > selbst drin sein, sowie deren Komplemente. Die Vereinigung
> > von den Mengen ist selbst schon wieder in den Mengen, daher
> > muss man diese nicht noch mit hinzufügen.
> Doch, z.B. die Vereinigung [mm]\{0\}\cup[1,2][/mm] liegt in
> [mm]\mathfrak{A}[/mm], aber nicht in [mm]\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}[/mm].
Ich bin doch ein Trottel. Natürlich muss noch [mm] \{0\}\cup[1,2] [/mm] mit in die [mm] $\sigma$-Algebra
[/mm]
>
>
> > Nummero 2:
> > Im Grunde ist es doch dasselbe Prinzip, nicht?
> > [mm]\mathfrak{A}_\sigma=\{\emptyset, \ \IR^1, \ (-\infty,a), \ [a,\infty)\}[/mm]
>
> Beachte: [mm]\mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\}[/mm] enthält
> schon unendlich viele Intervalle.
> Durch wiederholtes endliches oder abzählbares Vereinigen
> und Komplement-Bilden kommen da viele Elemente der
> sigma-Algebra zusammen...
Das mag ich nicht so richtig verstehen. Es denn etwa [mm] \mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\} [/mm] bereits die [mm] $\sigma$-Algebra? [/mm] Mein Gefühl sagt mir nein, aber deine Antwort klang so, als wäre meine Lösung falsch. Ich stehe hier ein bisschen auf dem Schlauch.
[mm] a\in\IR [/mm] ist ja ein fester Punkt. Damit liegt z.B. [mm] (-\infty,1) [/mm] in der Menge. Also muss ich das Komplement [mm] [1,\infty) [/mm] noch mit hinzufügen. So waren meine Überlegungen dazu.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
>
> > Hallo Richie,
> >
> >
> > > bei der Nummer 1) bin ich mir recht sicher.
> > > Ich habe folgendes ermittelt:
> > > [mm]\mathfrak{A}=\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Begründung: Zunächst muss die Grundmenge und die leere
> > > Menge enthalten sein. Dann müssen die Mengen [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm]
> > > selbst drin sein, sowie deren Komplemente. Die Vereinigung
> > > von den Mengen ist selbst schon wieder in den Mengen, daher
> > > muss man diese nicht noch mit hinzufügen.
> > Doch, z.B. die Vereinigung [mm]\{0\}\cup[1,2][/mm] liegt in
> > [mm]\mathfrak{A}[/mm], aber nicht in [mm]\{\emptyset,\ \IR^1,\ \IR^1\setminus\{0\},\ \IR^1\setminus[1,2],\ [1,2],\ \{0\}\}[/mm].
>
> Ich bin doch ein Trottel. Natürlich muss noch
> [mm]\{0\}\cup[1,2][/mm] mit in die [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> >
> >
> > > Nummero 2:
> > > Im Grunde ist es doch dasselbe Prinzip, nicht?
> > > [mm]\mathfrak{A}_\sigma=\{\emptyset, \ \IR^1, \ (-\infty,a), \ [a,\infty)\}[/mm]
>
> >
> > Beachte: [mm]\mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\}[/mm] enthält
> > schon unendlich viele Intervalle.
> > Durch wiederholtes endliches oder abzählbares
> Vereinigen
> > und Komplement-Bilden kommen da viele Elemente der
> > sigma-Algebra zusammen...
> Das mag ich nicht so richtig verstehen. Es denn etwa
> [mm]\mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\}[/mm] bereits die
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra? Mein Gefühl sagt mir nein, aber deine
> Antwort klang so, als wäre meine Lösung falsch. Ich stehe
> hier ein bisschen auf dem Schlauch.
>
> [mm]a\in\IR[/mm] ist ja ein fester Punkt. Damit liegt z.B.
> [mm](-\infty,1)[/mm] in der Menge. Also muss ich das Komplement
> [mm][1,\infty)[/mm] noch mit hinzufügen. So waren meine
> Überlegungen dazu.
Zu 2)
Zeige: die von [mm] \mathfrak{S} [/mm] erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra enthält alle offenen Mengen !
Und was ist die von den offenen Mengen erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra ?
FRED
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Tobias
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Di 04.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich bin doch ein Trottel. Natürlich muss noch
> [mm]\{0\}\cup[1,2][/mm] mit in die [mm]\sigma[/mm]-Algebra
Und deren Komplement.
> > > Nummero 2:
> > > Im Grunde ist es doch dasselbe Prinzip, nicht?
> > > [mm]\mathfrak{A}_\sigma=\{\emptyset, \ \IR^1, \ (-\infty,a), \ [a,\infty)\}[/mm]
>
> >
> > Beachte: [mm]\mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\}[/mm] enthält
> > schon unendlich viele Intervalle.
> > Durch wiederholtes endliches oder abzählbares
> Vereinigen
> > und Komplement-Bilden kommen da viele Elemente der
> > sigma-Algebra zusammen...
> Das mag ich nicht so richtig verstehen. Es denn etwa
> [mm]\mathfrak{S}=\{]-\infty,a[\;|\;a\in\IR\}[/mm] bereits die
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra?
Nein.
> [mm]a\in\IR[/mm] ist ja ein fester Punkt.
Nein. Für jedes [mm] $a\in\IR$ [/mm] liegt [mm] $]-\infty,a[$ [/mm] in [mm] $\mathfrak{S}$. [/mm] Also z.B. [mm] $]-\infty,1[$ [/mm] und [mm] $]-\infty,2[$.
[/mm]
> Damit liegt z.B.
> [mm](-\infty,1)[/mm] in der Menge. Also muss ich das Komplement
> [mm][1,\infty)[/mm] noch mit hinzufügen. So waren meine
> Überlegungen dazu.
Genauso liegt z.B. auch das Komplement von [mm] $]-\infty,2[$, [/mm] also [mm] $[2,\infty[$ [/mm] in der sigma-Algebra. Also z.B. auch [mm] $]-\infty,1[\cup[2,\infty[$. [/mm] Damit auch dessen Komplement $[1,2[$.
|
|
|
|
