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| Aufgabe | | Sei G = (Z,*), wobei die Verknüpfung definiert sei durch: x*y = x+y+1. Zeigen Sie, dass G eine kommutative Gruppe ist. |
Hi Leute,
für eine kommutative Gruppe muss ja folgendes gelten:
Halbgruppe (also Assoziativ)
Monoid ( Halbgruppe + zusätzliches neutrales Element)
Gruppe (Monoid + inverses Element bezüglich des Operators)
kommutativ oder abelsche Gruppe, wenn Distributivität gilt.
Mir fehlt jetzt leider der Ansatz zur Aufgabe. x verknüpft mit y = x+y+1.
Könnt ihr mir das vielleicht anhand einer Verknüpfungstabelle erklären, da verstehe ich es immer am Besten 
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 13.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Sei G = (Z,*), wobei die Verknüpfung definiert sei durch:
> x*y = x+y+1. Zeigen Sie, dass G eine kommutative Gruppe
> ist.
> Hi Leute,
>
> für eine kommutative Gruppe muss ja folgendes gelten:
>
> Halbgruppe (also Assoziativ)
> Monoid ( Halbgruppe + zusätzliches neutrales Element)
> Gruppe (Monoid + inverses Element bezüglich des
> Operators)
> kommutativ oder abelsche Gruppe, wenn Distributivität
> gilt.
Nein, Kommuativitaet hat nichts mit Distributivitaet zu tun; das musst Du Dir nocheinmal anschauen.
>
> Mir fehlt jetzt leider der Ansatz zur Aufgabe. x verknüpft
> mit y = x+y+1.
>
> Könnt ihr mir das vielleicht anhand einer
> Verknüpfungstabelle erklären, da verstehe ich es immer am
> Besten
Z.B zum Assoziativgesetz: Seien [mm] $x,y,z\in \IZ$. [/mm] Es gilt nach Definition [mm] $x\*(y\*z)= x+(y\*z)+1= [/mm] x+(y+z+1)+1$. Nun analysiere analog [mm] $(x\*y)\*z$ [/mm] und vergleiche. Aehnliche Ueberlegungen sollten auch fuer die anderen Axiome zum Ziel fuehren. Und nicht vergessen: Ist die Verknuepfung ueberhaupt abgeschlossen?
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> Vielen Dank
>
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> Z.B zum Assoziativgesetz: Seien [mm]x,y,z\in \IZ[/mm]. Es gilt nach
> Definition [mm]x\*(y\*z)= x+(y\*z)+1= x+(y+z+1)+1[/mm]. Nun
> analysiere analog [mm](x\*y)\*z[/mm] und vergleiche. Aehnliche
> Ueberlegungen sollten auch fuer die anderen Axiome zum Ziel
> fuehren. Und nicht vergessen: Ist die Verknuepfung
> ueberhaupt abgeschlossen?
>
> >
> >
> >
Ich verstehe ehrlich gesagt überhaupt nicht von dem, was du mir hier versuchst zu erklären.
> >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 13.01.2015 | | Autor: | hippias |
Um eine gemeinsame Basis zu finden: Koenntest Du mir einmal sagen, wie das Assoziativgesetz lautet und was z.B. [mm] $6\*(-10)$ [/mm] gemaess der neuen Verknuepfung ergibt.
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Assoziativgesetz = a*(b*c) = (a*b)*c
Ich gehe mal davon aus, dass * der Verknüpfungsoperator und somit das Pluszeichen ist?
Dann sollte das Ergebnis = - 3 sein?
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> Assoziativgesetz = a*(b*c) = (a*b)*c
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> Ich gehe mal davon aus, dass * der Verknüpfungsoperator
> und somit das Pluszeichen ist?
???
>
> Dann sollte das Ergebnis = - 3 sein?
Hallo,
es wäre eine gute Idee, vollständige Gleichungen zu schreiben.
Das hilft nicht nur den Helfern, sondern schafft auch mehr Klarheit in Deinen Gedanken.
Nach Definition des Zeichens * in dieser Aufgabe ist
6*(-10)=6+(-10)+1=-3.
Offenbar hast Du das richtig verstanden.
Fürs Assoziativgesetz mußt Du jetzt nachweisen, daß für beliebige [mm] a,,c\in \IZ [/mm] gilt
a*(b*c) = (a*b)*c .
Beweis: seien [mm] aa,b,c\in\IZ.
[/mm]
Es ist
a*(b*c) = a*(b+c+1) [mm] \qquad [/mm] Def. von * in der Klammer angewendet
=a+(b+c+1)+1 [mm] \qquad [/mm] Def. von * angewendet: "erste+zweite Zahl plus 1"
=a+b+c+2,
und es ist
(a*b)*c= ... ... ... ... ... ... ...
Dann schau, ob die beiden Ergebnisse gleich sind.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Di 13.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Z.B zum Assoziativgesetz: Seien [mm]x,y,z\in \IZ[/mm]. Es gilt nach
> > Definition [mm]x\*(y\*z)= x+(y\*z)+1= x+(y+z+1)+1[/mm]. Nun
> > analysiere analog [mm](x\*y)\*z[/mm] und vergleiche. Aehnliche
> > Ueberlegungen sollten auch fuer die anderen Axiome zum Ziel
> > fuehren. Und nicht vergessen: Ist die Verknuepfung
> > ueberhaupt abgeschlossen?
> >
> > >
> > >
> > >
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> Ich verstehe ehrlich gesagt überhaupt nicht von dem, was
> du mir hier versuchst zu erklären.
weißt Du, was hippias meinte mit *abgeschlossen*?
Ansonsten rechne ich Dir mal vor, warum auf
[mm] $(\IN,\circ)$
[/mm]
mit [mm] $x\circ [/mm] y:=x+y+100$ dann [mm] $\circ$ [/mm] kommutativ ist:
Seien dazu $x,y [mm] \in \IN.$ [/mm] Dann gilt per Def.
1. $x [mm] \circ [/mm] y=x+y+100.$
Weiter gilt
2. $y [mm] \circ x=y+x+100\,.$
[/mm]
Da daher
$x [mm] \circ [/mm] y=y [mm] \circ [/mm] x$ [mm] $\iff$ [/mm] $x+y+100=y+x+100$
ist, ist es, um
$x [mm] \circ [/mm] y=y [mm] \circ [/mm] x$
einzusehen, hinreichend, zu beweisen, dass
$x+y+100=y+x+100$
gilt:
Da [mm] $+\,$ [/mm] in [mm] $(\IN,+)$ [/mm] aber kommutativ ist, gilt
$x+y=y+x$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(x+y)+100=(x+y)+100$.
Letzteres können wir, da wir wegen der Assoziativität von [mm] $+\,$ [/mm] in [mm] $(\IN,+)$ [/mm] auf
Klammern verzichten können, schreiben als
[mm] $x+y+100=y+x+100\,.$
[/mm]
Also gilt in der Tat
$x [mm] \circ [/mm] y=y [mm] \circ x\,.$
[/mm]
Da $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig waren, folgt
$x [mm] \circ [/mm] y=y [mm] \circ x\,$
[/mm]
für alle $x,y [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
P.S. [mm] $\circ$ [/mm] wäre auch assoziativ. Dazu erst mal ein Beispiel:
$(3 [mm] \circ [/mm] 5) [mm] \circ [/mm] 7=(3+5+100)+7+100$
ist das Gleiche wie
$3 [mm] \circ [/mm] (5 [mm] \circ [/mm] 7)=3 [mm] \circ (5+7+100)=3+(5+7+100)+100=...\,,$ [/mm] weil...?
Allgemein für $x,y,z [mm] \in \IN:$
[/mm]
$(x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z=(x+y+100)+z+100=...=x+y+z+2*100$
und
$x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ z)=x+(y+z+100)+100=...=x+y+z+2*100\,,$
[/mm]
weil...? Daher folgt...
Gruß,
Marcel
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