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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 So 24.11.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | I)
Sei $K$ ein beliebiger Körper. Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung [mm] $\{x\in K|x^2=1\}=\{-1,1\}$
[/mm]
in K gilt.
II) Bestimmen Sie die Menge
[mm] $\{\overline{a}\in\mathbb{Z}/8|\overline{a}=\overline{1}\}$ [/mm] |
Hi, ich würde mich freuen, wenn mir jemand beim lösen dieser Aufgaben hilft.
Erst einmal Aufgabe I).
Also ich habe hier einen beliebigen Körper, und ich muss nun zeigen, dass wenn alle Körperaxiome erfüllt sind, dann erfüllen -1 und 1 die Gleichung
[mm] $x^2=1$
[/mm]
Doch wie mache ich dies am besten. Wie kann ich hier ansetzen.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 So 24.11.2013 | | Autor: | hippias |
Da Du eine Mengengleichheit zeigen moechtest, musst Du nur zeigen, dass die linke Menge in der rechten enthalten ist und umgekehrt. Die Inklusion [mm] $\supseteq$ [/mm] duerfte leicht sein; fuer [mm] $\subseteq$ [/mm] faktorisiere die Gleichung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 24.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Ah okay, ich soll also einfach nur die beiden Mengen
[mm] $\{x\in K|x^2=1\}$ [/mm] und [mm] $\{-1,1\}$
[/mm]
vergleichen und dann bin ich fertig? Aber da beziehe ich ja irgendwie nicht ein, dass es sich um einen Körper handelt.
Man kann das ganze ja so faktorisieren:
$(x+1)(x-1)=0$
Dann sind -1 und 1 die Lösungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 24.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Ah okay, ich soll also einfach nur die beiden Mengen
>
> [mm]\{x\in K|x^2=1\}[/mm] und [mm]\{-1,1\}[/mm]
>
> vergleichen und dann bin ich fertig? Aber da beziehe ich ja
> irgendwie nicht ein, dass es sich um einen Körper
> handelt.
>
> Man kann das ganze ja so faktorisieren:
>
> [mm](x+1)(x-1)=0[/mm]
>
> Dann sind -1 und 1 die Lösungen.
Mache Dir klar, dass dies die Loesungsmenge der Gleichung $(x-1)(x+1)= 0$ ist, weil $K$ ein Koerper ist; in beliebigen Ringen koennte es weitere Loesungen geben.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 So 24.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, aber damit bin ich jetzt noch nicht fertig, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 28.11.2013 | | Autor: | YuSul |
An Antworten wäre ich noch interessiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Do 28.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Yusul,
bei Dir ist [mm] $1=1_K$ [/mm] die [mm] $1\,$ [/mm] des Körpers ("multiplikativ" neutrales Element) und
[mm] $-1=-1_K$ [/mm] das zugehörige "additiv" inverse Element. Das erstmal nur, damit klar ist,
dass wir hier keine "Zahlen" vorliegen haben.
Dass [mm] $1_K*1_K=1_K$ [/mm] ist, ergibt sich per Definitionem. Nicht so trivial ist, dass
[mm] $(-1_K)*(-1_K)=1_K$ [/mm] gilt. Wenn ihr das oder einen entsprechenden Satz bewiesen habt,
dann darfst Du das natürlich anwenden. Falls aber nicht, so kann man das
etwa so begründen:
Ich hoffe, ihr wißt schon, dass additiv inverse Elemente eindeutig sind. Dann
berechne
[mm] $(-1_K)*(-1_K)+(-1_K)$
[/mm]
und bedenke, dass per Definitionem des additiv inversen Element
[mm] $1_K+(-1_K)=0_K$
[/mm]
gilt - dabei ist [mm] $0=0_K$ [/mm] das additiv neutrale Element.
Jetzt zu der anderen Teilmengenbeziehung:
[mm] $x^2=1_K$ $\iff$ $(x+1_K)*(x-1_K)=0_K\,.$
[/mm]
Da ist natürlich schon ein bisschen was passiert. Außerdem bedeutet das
letztstehende
[mm] $(x+1_K)*(x+(-1_K))=0_K\,.$
[/mm]
Worauf Hippias noch hinauswollte, ist: Nicht jeder Ring ist nullteilerfrei.
Bzw.
![[]](/images/popup.gif) Satz 2.4, 4.
Gruß,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 28.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank für deine Antwort, aber eins versteh ich nicht ganz.
Wieso hilft das dazuaddieren von [mm] $(-1_K)$ [/mm] hier weiter zu zeigen, dass [mm] $(-1_K)(-1_K)=1_K$
[/mm]
Das habe ich nicht ganz verstanden. Denn könnte es nicht auch sein, dass in diesem Körper [mm] (-1_K) [/mm] das neutrale Element der Addition ist, und wir nur einen zweielementigen Körper wie [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 28.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort, aber eins versteh ich nicht
> ganz.
>
> Wieso hilft das dazuaddieren von [mm](-1_K)[/mm] hier weiter zu
> zeigen, dass [mm](-1_K)(-1_K)=1_K[/mm]
ihr müßt halt bewiesen haben, dass inverse Elemente eindeutig sind (meist
zeigt man das schon in Gruppen).
Das bedeutet hier folgendes:
Sei $a [mm] \in [/mm] K$ fest. Sei $b [mm] \in [/mm] K$ das additiv inverse Element, d.h. es gilt
[mm] $b+a=0_K\,.$
[/mm]
Ist nun $c [mm] \in [/mm] K$ mit
[mm] $c+a=0_K\,,$
[/mm]
so folgt schon [mm] $c=b\,.$ [/mm] Deswegen macht es dann auch Sinn, dass man bzgl.
[mm] $a\,$ [/mm] von DEM (und nicht nur EINEM) (additiv) inversen Element spricht.
Und dann definiert man halt noch die Notation [mm] $-a:=b\,.$
[/mm]
Nun folgendes:
Klar ist dann, dass
[mm] $(-1_K)+1_K=0_K$
[/mm]
gilt - denn per Definitionem ist [mm] $-1_K$ [/mm] ja gerade das Symbol für das zu [mm] $1_K \in [/mm] K$
additiv inverse Element in [mm] $K\,.$
[/mm]
Wegen der Kommutativität der Addition erhalten wir aber auch direkt
(I) [mm] $1_K+(-1_K)=0_K\,,$
[/mm]
d.h. [mm] $1_K$ [/mm] ist auch ein (sogar: das) zu [mm] $(-1_K)$ [/mm] additiv inverse Element (beachte bitte, dass
man - rein per Definitionem - das zu [mm] $(-1_K)$ [/mm] additiv inverse Element als [mm] $-(-1_K)$
[/mm]
zu schreiben hat. D.h. rein per Definitionem ist klar, dass
(II) [mm] $-(-1_K)+(-1_K)=0_K$
[/mm]
gilt. Aus (I) und (II) folgt dann WEGEN DER EINDEUTIGKEIT des additiv inversen
Elements, dass
[mm] $-(-1_K)=1_K$
[/mm]
gilt. Und nein: Das ist noch nicht wirklich das, was Du brauchst [wobei man
sicher auch hiermit weiter argumentieren könnte für das, was Du brauchst].)
Nun rechnest Du bitte mal
(III) [mm] $(-1_K)*(-1_K)+(-1_K)=0_K$
[/mm]
nach (beachte: jeder Rechenschritt muss begründet werden). Wegen (I)
wissen wir schon, dass [mm] $1_K$ [/mm] ein (besser: das) zu [mm] $(-1_K)$ [/mm] additiv inverse Element
sein muss. Welchen Stellenwert besitzt denn [mm] $(-1_K)*(-1_K)$ [/mm] bzgl. [mm] $(-1_K)\,,$
[/mm]
wenn Du Dir (III) anguckst?
Wenn aber das zu [mm] $-1_K \in [/mm] K$ additiv inverse eindeutig bestimmt ist, was folgt
dann für eine Beziehung zwischen [mm] $1_K$ [/mm] und [mm] $(-1_K)*(-1_K)$?
[/mm]
> Das habe ich nicht ganz verstanden. Denn könnte es nicht
> auch sein, dass in diesem Körper [mm](-1_K)[/mm] das neutrale
> Element der Addition ist,
Nein - das wird normalerweise schon per Definitionem des Körpers
ausgeschlossen. Da steht doch meist:
Das Tripel $(K,+,*)$ heißt Körper, wenn [mm] $K\,$ [/mm] mit mindestens zwei Elementen [mm] $0_K, 1_K$ [/mm]
und [mm] $0_K \not=1_K\,$ [/mm] ausgestattet ist und wenn gelten: ...
> und wir nur einen zweielementigen
> Körper wie [mm]\mathbb{F}_2[/mm] haben?
??? Dort gilt auch $0 [mm] \not=1\,$ [/mm] !
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 28.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich glaube ich habe es verstanden. Danke.
Mit dem Beispiel [mm] F_2 [/mm] wollte ich darauf hinaus, dass es ja auch zwei elementige Körper gibt. Wir hätten einen mit mindestens drei Elementen
[mm] 1_K
[/mm]
[mm] (-1)_K
[/mm]
[mm] 0_K
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 28.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube ich habe es verstanden. Danke.
>
> Mit dem Beispiel [mm]F_2[/mm] wollte ich darauf hinaus, dass es ja
> auch zwei elementige Körper gibt.
ja, gibt es.
> Wir hätten einen mit
> mindestens drei Elementen
>
> [mm]1_K[/mm]
> [mm](-1)_K[/mm]
> [mm]0_K[/mm]
Es muss doch nicht immer [mm] $-1_K \not=1_K$ [/mm] sein. Gerade in [mm] $\IF_2$ [/mm] hast Du doch
gerade [mm] $-1_K=1_K\,.$
[/mm]
Oder meintest Du, dass in jedem nicht zweielementigen Körper vielleicht
[mm] $-1_K \not=1_K$ [/mm] gelten muss? Das weiß ich gerade nicht (und bekomme es auch
mal nicht so schnell zusammengebaut... vielleicht ergänzt das jemand, der
da mehr weiß? Oder überlege Dir mal selbst, ob das stimmen muss bzw. ob
das stimmen kann...)
P.S. Bitte schreibe [mm] $-1_K$ [/mm] oder [mm] $(-1_K)\,,$ [/mm] aber nicht die -1 Klammern und dann
erst das $_K$ - also nicht [mm] $(-1)_K\,.$
[/mm]
Da sieht die [mm] $-1\,$ [/mm] nämlich wie die reelle -1 aus...
Gruß,
Marcel
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