kompakte Menge Durchschnitt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 14.09.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Folgende Frage habe ich: Wenn ich eine abzählbare Menge $\ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ von abgeschlossenen, kompakten Mengen $\ [mm] B_n [/mm] $ habe, welche absteigend sind (insbesondere also die endliche Durchschnittseigenschaft besitzen), warum ist dann der Durchschnitt nicht leer:
[mm] B:= \bigcap_{n \in \IN} B_n \not= \emptyset [/mm].
Es muss etwas mit der endlichen Durchschnittseigenschaft zu tun haben. Ich kenne den Satz, Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann wenn jede Kollektion von abgeschlossenen Mengen, welche die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt einen nichtleeren Durchschnitt besitzt.
Leider ist mein Raum aber nicht kompakt, sonder "nur" lokal kompakt hausdorff. Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, obwohl es wohl recht einfach sein sollte. Ich wäre trotzdem dankbar für Hilfe
Gruss
physicua
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Do 15.09.2011 | | Autor: | hippias |
So wie ich es sehe, spielt sich alles in [mm] $B_{0}$ [/mm] ab, welche Menge kompakt ist, sodass Du den zitierten Satz zur Anwendung bringen koennen muesstest.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Do 15.09.2011 | | Autor: | SEcki |
> Folgende Frage habe ich: Wenn ich eine abzählbare Menge [mm]\ \mathcal{B}[/mm]
> von abgeschlossenen, kompakten Mengen [mm]\ B_n[/mm] habe, welche
> absteigend sind (insbesondere also die endliche
> Durchschnittseigenschaft besitzen), warum ist dann der
> Durchschnitt nicht leer:
>
> [mm]B:= \bigcap_{n \in \IN} B_n \not= \emptyset [/mm].
Angenommen, dies wäre so, dann bilden die Komplemente eine offene Überdeckung deines Raums. Im Wesentlich war's das dann.
SEcki
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