kompakte Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 06.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Warum sind stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt? |
Ich habe leider keine Ahnung.
Aber da gibt es doch bestimmt einen ganz tollen Satz, oder?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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> Warum sind stetige Funktionen auf kompakten Mengen
> beschränkt?
> Ich habe leider keine Ahnung.
> Aber da gibt es doch bestimmt einen ganz tollen Satz,
> oder?
Hallo,
ja, und dieser tolle Satz lautet: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind beschränkt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 06.10.2009 | | Autor: | jumape |
gibts da auch einen einfachen Beweis zu?
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Hallo,
> gibts da auch einen einfachen Beweis zu?
Also wir haben in unserer Vorlesung zunächst folgenden Satz bewiesen:
Seien (X, [mm] d_{x}) [/mm] und (Y, [mm] d_{y}) [/mm] metrische Räume sowie f: X [mm] \to [/mm] Y eine stetige Abb.. Ist K [mm] \subseteq [/mm] X kompakt, so ist auch f(K) [mm] \subseteq [/mm] Y kompakt.
(Ich geh an der Stelle mal davon aus, dass du weißt, dass jede kompakte Teilmenge K eines metrischen Raumes beschränkt ist, denn somit kann man auch die Beschränktheit einfach folgern.)
Beweis: Sei [mm] \bigcup_{\alpha \in A}^{}M_{\alpha} [/mm] eine offene Überdeckung von f(K).
Zu zeigen ist nun, dass wir hiervon eine endliche Teilüberdeckung auswählen können.
Es ist [mm] V_{\alpha}:= f^{-1}(M_{\alpha}) [/mm] offen für jedes [mm] \alpha \in [/mm] A und K [mm] \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}^{}V_{\alpha}. [/mm] Da K kompakt ist, gilt bereits schon K [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{k}V_{\alpha_{i}} [/mm] und somit f(K) [mm] \subseteq f(\bigcup_{i=1}^{k}V_{\alpha_{i}}). \Box
[/mm]
Ich hoffe das war verständlich.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Beweis für:
Seien (X, $ [mm] d_{x}) [/mm] $ und (Y, $ [mm] d_{y}) [/mm] $ metrische Räume sowie f: X $ [mm] \to [/mm] $ Y eine stetige Abb.. Ist K $ [mm] \subseteq [/mm] $ X kompakt, so ist auch f(K) $ [mm] \subseteq [/mm] $ Y kompakt.
Sei [mm] (y_n) [/mm] eine Folge in f(K). Zu jedem n ex. ein [mm] x_n [/mm] in K mit [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] y_n.
[/mm]
K ist kompakt, also enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_n') [/mm] mit [mm] x_0 [/mm] := lim [mm] x_n' \in [/mm] K.
[mm] y_n' [/mm] := [mm] f(x_n'). [/mm] f ist stetig, also konvergiert [mm] (y_n') [/mm] gegen [mm] f(x_0) \in [/mm] f(K)
Fazit: jede Folge in f(K) enth. eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu f(K) gehört. f(K) ist also kompakt
FRED
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