kompakte Teilmengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Mikke |
Hallo zusammen!!
Hab ein Problem bei folgender aufgabe und finde irgendwie keinen zugang zu ihr:
Sei C [0,1] der Vektorraum aller stetigen reelwertigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] Teimenge von den reelen Zahlen mit der Supremumsnorm. Betrachten soll ich nun die Menge:
M:= [mm] \{f \in C[0,1] : \integral_{0}^{1} {f(x) dx} = 0\}. [/mm]
Die Frage ist jetzt, ob M eine Kompakte Teilmenge von C[0,1] ist...
Hoffe mit kann wer helfen hab echt keine Idee... Ciao Mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Sa 14.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Integral ist ne lineare Abbildung. also bildet es ne Hyperebene, also nicht kompakt.
Oder z. Bsp [mm] f_{n}(x)=n*sin(x/2\pi) [/mm] sind aus M, es gibt keine konv. Teilfolge.also nicht kompakt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Do 19.05.2005 | | Autor: | Mikke |
hab hier zu noch eine frage...
wie kann ich denn zeigen dass [mm] f_{n}(x)=n\cdot{}sin(x/2\pi) [/mm] aus M ist?
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Hallo!
Tatsächlich liegt nicht [mm] $n*\sin\left(\bruch{x}{2\pi}\right)$ [/mm] in $M$, sondern [mm] $n*\sin\left(2\pi *x\right)$. [/mm] Das lässt sich über's Integral leicht zeigen:
[mm] $\int_0^1n*\sin\left(2\pi *x\right)dx=\left[ -\bruch{n}{2\pi}\cos(2\pi*x) \right]_0^1= -\bruch{n}{2\pi}+ \bruch{n}{2\pi}=0$...
[/mm]
Gruß, banachella
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