kompakter metrischer Raum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Sei (X,d) kompakter metrischer Raum und T [mm] \subset [/mm] X abgeschlossen.
Zeige: T ist kompakt. |
Hey Leute,
muss ich hier zeigen, dass T beschränkt und vollständig ist?
Oder gibt es einen einfacheren weg?
Gruß Sharik
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mo 25.06.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> muss ich hier zeigen, dass T beschränkt und vollständig
> ist?
> Oder gibt es einen einfacheren weg?
ich glaube nicht, dass das zielführend ist, zumal das in beliebigen metrischen räumen wohl auch nicht äquivalent zur kompaktheit ist.
wie habt ihr denn kompkatheit definiert? dass jede offene überdeckung eine endliche teilüberdeckung enthält? wenn ja, dann versuche aus einer offenen überdeckung der abgeschlossenen menge eine des ganzen raumes zu bekommen, in dem du nur eine weitere offene menge hinzunimmst. hast du eine idee welche die sein könnte?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Sharik |
> wie habt ihr denn kompkatheit definiert?
Die Teilmenge T heißt kompakt, genau dann wenn jede Folge [mm] (t_n) [/mm] in T eine Teilfolge enthält [mm] (t_{\pi(n)}), [/mm] die gegen ein [mm] t\in [/mm] T konvergiert.
Leider kann ich damit nicht viel anfangen bzw. weiß ich nicht, wie ich das zeigen sool wenn ich keine Folge gegeben habe?
Kannst du mir da weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 25.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > wie habt ihr denn kompkatheit definiert?
>
> Die Teilmenge T heißt kompakt, genau dann wenn jede Folge
> [mm](t_n)[/mm] in T eine Teilfolge enthält [mm](t_{\pi(n)}),[/mm] die gegen
> ein [mm]t\in[/mm] T konvergiert.
>
> Leider kann ich damit nicht viel anfangen bzw. weiß ich
> nicht, wie ich das zeigen sool wenn ich keine Folge gegeben
> habe?
Na, du sollst genau die Bedingung fuer Kompaktheit zeigen, die du oben hingeschrieben hast. Die besagt: ``wenn jede Folge ...''
Also nimmst du dir irgendeine Folge [mm] $(t_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $t_n \in \IN$, [/mm] $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Jetzt weisst du, dass $X$ kompakt ist. Was sagt dir das ueber die Folge aus (nimm wieder das Kriterium von oben)?
So. Und jetzt musst du den Fakt, dass $T$ abgeschlossen ist, auf diese Folge und das was du daraus erhalten hast anwenden. Wie kann man ``$T$ abgeschlossen'' den anders ausdruecken (wieder mit etwas so wie ``Jede Folge mit XXX erfuellt YYY'')?
LG Felix
|
|
|
|
