kompl. Integral leicht gelöst? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx} [/mm] |
Hallo ihr!
Habe das o.a. Beispiel gerechnet! Mein Lösungsweg scheint aber "zu einfach" zu sein. Wenn ich mir das Integral so anseh, sieht's auf den ersten Blick viel komplexer aus! Hier mal mein Lösungsweg:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}} dx}=2\wurzel{f(x)}
[/mm]
--> Habe das Integral mit dieser Regel berechnet.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}
[/mm]
--> Bereits hier sehe ich, dass das Integral=0 sein soll!?!
a) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx} [/mm] = [mm] 2\wurzel{-4x^{2}+12x-5}+C
[/mm]
b) [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx} [/mm] = [mm] -2\wurzel{-4x^{2}+12x+5}+C
[/mm]
a + b = 0
Ist das so richtig, oder tapp ich mit dieser Funktion völlig im Dunkeln?
Gruß, h.
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}[/mm]
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> Hallo ihr!
[mm] $\bffamily \text{Hi.}$
[/mm]
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> Habe das o.a. Beispiel gerechnet! Mein Lösungsweg scheint
> aber "zu einfach" zu sein. Wenn ich mir das Integral so
> anseh, sieht's auf den ersten Blick viel komplexer aus!
> Hier mal mein Lösungsweg:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}} dx}=2\wurzel{f(x)}[/mm]
>
> --> Habe das Integral mit dieser Regel berechnet.
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}[/mm]
> - [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}[/mm]
>
> --> Bereits hier sehe ich, dass das Integral=0 sein
> soll!?!
>
> a) [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}[/mm]
> = [mm]2\wurzel{-4x^{2}+12x-5}+C[/mm]
> b) [mm]-\integral_{}^{}{\bruch{-8x+12}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}[/mm]
> = [mm]-2\wurzel{-4x^{2}+12x+5}+C[/mm]
>
> a + b = 0
>
> Ist das so richtig, oder tapp ich mit dieser Funktion
> völlig im Dunkeln?
>
> Gruß, h.
[mm] $\bffamily \text{Richtig ist es auf jeden Fall nicht so.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Was du genau gemacht hast, ist mir noch nicht ganz klar.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Es gibt eine Regel für Integrale der Form }$
[/mm]
[mm] $$\bffamily \int\bruch{1}{\sqrt{a+bx+cx^2}}\,\mathrm{d}x.$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Diese Regel lautet:}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily \int\bruch{1}{\sqrt{a+bx+cx^2}}\,\mathrm{d}x=-\bruch{1}{\wurzel{-c}}*\operatorname{arctan}\left(\bruch{2cx+b}{2*\wurzel{-c}*\wurzel{a+bx+cx^2}}\right)$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Das ergibt:}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily -\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{12-8x}{\wurzel{16}*\wurzel{-4x^2+12x-5}}\right)}{\wurzel{4}}$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Nun kannst du noch die Punktsymmetrie des Arkustangens ausnutzen und ein wenig vereinfachen:}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily \bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{2x-3}{\wurzel{-4x^2+12x-5}}\right)}{\wurzel{4}}$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Ferner kannst du dann noch eine Beziehung zum Arkussinus ausnutzen:}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily \bruch{\operatorname{arcsin}\left(\bruch{2x-3}{2}\right)}{2}=\bruch{\operatorname{arcsin}\left(x-1{,}5\right)}{2}$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Schöne Grüße, Stefan.}$
[/mm]
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx} [/mm] |
Herzlichen Dank für den Tipp. Aber wie leitet man diese "Regel" her? Gibt's dann keine Alternative dazu?
Gruß, h.
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Hallo nochmal,
also ich würde immer zuerst versuchen, in die Standardversion [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] umzuformen.
Das kann man relativ leicht mithilfe der Substitution [mm] x:=\sin(u) [/mm] herleiten:
[mm] x=\sin(u) \Rightarrow \bruch{dx}{du}=\cos(u) \Rightarrow dx=\cos(u)du [/mm] und [mm] \sin^{-1}(x)=\sin^{-1}(\sin(u)), [/mm] also [mm] u=\sin^{-1}(x)=\arcsin(x)
[/mm]
Dann ist [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx}=\integral{\bruch{\cos(u)}{\wurzel{1-\sin^2(u)}}du}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{\cos(u)}{\wurzel{\cos^2(u)}}du}=\integral{1du}=u=\arcsin(x)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo Hannes,
alternativ und mit dem Vorteil, eine Regel weniger kennen zu müssen 
hab ich noch folgenden Vorschlag:
Du kannst dein Integral mit einigen Umformungen auf ein Integral der Form [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-\left(x-\bruch{3}{2}\right)^2}}dx}
[/mm]
Nun musst du nur wissen, dass [mm] arcsin'(y)=\bruch{1}{\wurzel{1-y^2}} [/mm] ist.
Vllt noch zu den Umformungen:
Also [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{-4x^{2}+12x-5}} dx}=\integral{\bruch{1}{\wurzel{4(-x^{2}+3x-\bruch{5}{4})}} dx}=\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\wurzel{(-1)(x^2-3x+\bruch{5}{4})}}dx}
[/mm]
Das nun quadratisch ergänzen:
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\wurzel{(-1)(\left(x-\bruch{3}{2}\right)^2-1)}}dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-\left(x-\bruch{3}{2}\right)^2}}dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}arcsin\left(x-\bruch{3}{2}\right)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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