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Hallo!!
Ich untersuche für [mm] $z\in\IC$ [/mm] die folgende Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} z^n$$
[/mm]
in den Randpunkten des Konvergenzkreises, also die $z$ mit $|z|=1$.
Für z=1 habe ich trivialerweise Divergenz, doch für alle anderen $z, |z|=1$ liegt Konvergenz vor. Jedoch will mir der Beweis nicht gelingen. Für $z [mm] \not= [/mm] 1$ habe ich die folgende Zerlegung:
[mm] $\sum_{n=1}^m \frac{1}{n}z^n [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^m s_n \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) [/mm] + [mm] s_m \frac{1}{m+1} [/mm] , [mm] \quad s_n [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n z^k$.
[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt: Für $|z|=1$ gilt [mm] $|s_n| \le \sum_{k=1}^n |z|^k [/mm] = n$. Also kann ich meine Potenzreihe betragsmäßig abschätzen:
[mm] $\left|\sum_{n=1}^m \frac{1}{n}z^n \right| \le \sum_{n=1}^m [/mm] n [mm] \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) [/mm] + [mm] \frac{m}{m+1}$
[/mm]
Der zweite Summand konvergiert mir für [mm] $m\to\infty$ [/mm] zwar gegen 1, jedoch divergiert die Reihe, da sich ja gekürzt [mm] §\sum_{n=1}^m \frac{1}{n+1}$ [/mm] ergibt. Da habe ich wohl zu grob abgeschätzt. Aber ich sehe keine andere sinnvolle Abschätzung...
Danke für die Hilfe. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 26.05.2011 | | Autor: | Lippel |
> Hallo!!
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> Ich untersuche für [mm]z\in\IC[/mm] die folgende Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} z^n[/mm]
> in den Randpunkten
> des Konvergenzkreises, also die [mm]z[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm].
> Für z=1 habe ich trivialerweise Divergenz, doch für alle
> anderen [mm]z, |z|=1[/mm] liegt Konvergenz vor. Jedoch will mir der
> Beweis nicht gelingen. Für [mm]z \not= 1[/mm] habe ich die folgende
> Zerlegung:
>
> [mm]\sum_{n=1}^m \frac{1}{n}z^n = \sum_{n=1}^m s_n \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) + s_m \frac{1}{m+1} , \quad s_n := \sum_{k=1}^n z^k[/mm].
Mag sein, dass ich dich damit auf den Holzweg schicke, aber hast du es mal versucht mit $|z|=1, z [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow z=e^{i\phi}$ [/mm] mit [mm] $\phi \in (0,2\pi)$.
[/mm]
Damit bekommst du:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty \frac{1}{n}z^n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \frac{1}{n}e^{in\phi} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \frac{1}{n}(cos(n\phi)+i\;sin(n\phi)$
[/mm]
Nun hast du ja durch den Sinuns und Kosinus Vorzeichenwechsel (leider ist es nicht zwingend alternierend), die dafür sorgen, dass die Reihe im Gegensatz zur harmonischen Reihe konvergiert. Vielleicht kommst du ja weiter, wenn du dir das noch genauer anschaust.
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 26.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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