komplementärer Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] U_{1} [/mm] = { (a,b,c) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | a+b+c = 0 }. Finden Sie einen Unterraum [mm] U_{2} \subset \IR^{3}, [/mm] so dass [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] = [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] = { 0 }. (Diese heißt dann der komplementäre Unterraum) |
Kann ich da folgendes machen:
[mm] U_{2} [/mm] := { (a,b,c) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | a+b+c [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \vee [/mm] a,b,c = 0 } ???
Oder ist das zu einfach?
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> Sei [mm]U_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { (a,b,c) [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| a+b+c = 0 }. Finden Sie
> einen Unterraum [mm]U_{2} \subset \IR^{3},[/mm] so dass [mm]U_{1}[/mm] +
> [mm]U_{2}[/mm] = [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] = { 0 }. (Diese heißt
> dann der komplementäre Unterraum)
> Kann ich da folgendes machen:
>
> [mm]U_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { (a,b,c) [mm]\in \IR^{3}[/mm] | a+b+c [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\vee[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a,b,c =
> 0 } ???
>
> Oder ist das zu einfach?
Hallo,
Einfachheit ist kein Problem.
Aber Deine Menge ist kein Vektorraum - warum nicht, solltest Du selbst herausfinden.
Der Weg zur Lösung der Aufgabe führt über die Bestimmung einer Basis v. U_1, welche Du dann zu einer Basis des \IR^3 ergänzt.
Gruß v. Angela
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Oh ja, ok.....
Also, wenn ich jetzt als Basis von [mm] U_{1} [/mm] ((1,-1,0),(0,1,-1)) nehme.
Dann erweitere ich das zu einer Basis von [mm] \IR^{3}, [/mm] also etwa zu
((1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,0)) , oder?
Also wäre [mm] U_{2} [/mm] = { (m,0,0) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] m\in \IR [/mm] }
stimmt das so??
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> Oh ja, ok.....
> Also, wenn ich jetzt als Basis von [mm]U_{1}[/mm]
> ((1,-1,0),(0,1,-1)) nehme.
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> Dann erweitere ich das zu einer Basis von [mm]\IR^{3},[/mm] also
> etwa zu
> ((1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,0)) , oder?
>
> Also wäre [mm]U_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { (m,0,0) [mm]\in \IR^{3}[/mm] | [mm]m\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> stimmt das so??
Ja.
Gruß v. Angela
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