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| Aufgabe 1 | [mm] M=\{z\in\IC| z+\overline{z} = z * \overline{z}\}
[/mm]
Soll in der K. Ebene dargestellt werden. |
| Aufgabe 2 | [mm] M=\{z\in\IC| |z-i| = |z+i|\}
[/mm]
M Soll in der k. Ebene dargestellt werden. |
| Aufgabe 3 | [mm] \overline{z}*z=\bruch{z-\overline{z}}{2j}
[/mm]
Gesucht: alle lösungen |
Ansatz Aufgabe 1
[mm] z+\overline{z} [/mm] = z * [mm] \overline{z}
[/mm]
x+jy+x-jy=(x+jy)*(x-jy)
[mm] \Rightarrow y=\wurzel{2x-x^{2}}
[/mm]
Muss ich nun diese Funktion in mein Koordinatensystem zeichnen? Ich nehme an, dass alle Punkte auf dem Halbkreis zur Lösung gehören, oder?
Ansatz Aufgabe 2
Hab jetzt einfach den Betrag ausgerechnet.
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+jy-j|=|x+jy+j|
[mm] \Rightarrow \wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}=\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}
[/mm]
Jetzt weis ich nicht wie weiter verfahren werden soll und wie ich die Menge in die Ebene einzeichne.
Ansatz Aufgabe 3
bekomme als Lösung [mm] y=x^{2}+y^{2}
[/mm]
Stimmt das?
Wie kann ich jetzt diese Gleichung Lösen?
[mm] 0=x^{2}+y^{2}-y
[/mm]
wäre jetzt mein Ansatz. Rein aus der Logik erkenne ich die Lösungen
x=0,5 y=0,5 sowie x=-0,5 und y=0,5.
Es muss dafür aber doch auch eine Lösungsformel geben, oder?
gruß
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Hallo Valerie20,
> [mm]M={z\in\IC| z+\overline{z} = z * \overline{z}}[/mm]
>
> Soll in der Komplexen Ebene dargestellt werden.
>
> [mm]M={z\in\IC| |z-i| = |z+i|}[/mm]
>
> M Soll in der Komplexen Ebene dargestellt werden.
>
> [mm]\overline{z}*z=\bruch{z-\overline{z}}{2j}[/mm]
>
> Gesucht: alle lösungen
>
> Ansatz Aufgabe 1
>
> [mm]z+\overline{z}[/mm] = z * [mm]\overline{z}[/mm]
>
> x+jy+x-jy=(x+jy)*(x-jy)
>
> [mm]\Rightarrow y=\wurzel{2x-x^{2}}[/mm]
Was ist mit [mm]y=-\sqrt{2x-x^2}[/mm] ?
Schöner ist, wenn du quadr. Ergänzung machst, dann siehst du direkt, worauf es hinausläuft:
Du hast ja zwischendurch [mm] $2x=x^2+y^2$, [/mm] also [mm] $x^2-2x+y^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (x-1)^2+y^2=1$
[/mm]
Und was das ist, weißt du seit der Mittelstufe ...
>
> Muss ich nun diese Funktion in mein Koordinatensystem
> zeichnen?
Jo, mache das mal!
> Ich nehme an, dass alle Punkte auf dem Halbkreis
> zur Lösung gehören, oder?
Sogar alle auf dem Kreis!
>
> Ansatz Aufgabe 2
>
> Hab jetzt einfach den Betrag ausgerechnet.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |x+jy-j|=|x+jy+j|
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}=\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}[/mm]
>
> Jetzt weis ich nicht wie weiter verfahren werden soll und
> wie ich die Menge in die Ebene einzeichne.
Quadrieren und auflösen ...
Oder direkt geometrisch überlegen:
In [mm]M_2[/mm] sind alle [mm]z\in\IC[/mm], die von i und -i denselben Abstand haben.
Was könnte das wohl sein?
>
> Ansatz Aufgabe 3
>
> bekomme als Lösung [mm]y=x^{2}+y^{2}[/mm]
> Stimmt das? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie kann ich jetzt diese Gleichung Lösen?
>
> [mm]0=x^{2}+y^{2}-y[/mm]
>
> wäre jetzt mein Ansatz.
Ja!
> Rein aus der Logik erkenne ich die
> Lösungen
>
> x=0,5 y=0,5 sowie x=-0,5 und y=0,5.
Und alle weiteren Lösungen?
>
> Es muss dafür aber doch auch eine Lösungsformel geben,
> oder?
Ja, mache quadr. Ergänzung!
[mm]x^2+y^2-y=0\gdw x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2[/mm]
Klingelt es?
>
> gruß
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Schachuzipus,
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> > [mm]M={z\in\IC| z+\overline{z} = z * \overline{z}}[/mm]
> >
> >
> >
> > [mm]M={z\in\IC| |z-i| = |z+i|}[/mm]
> >
> >
> >
> > [mm]\overline{z}*z=\bruch{z-\overline{z}}{2j}[/mm]
> >
> > Gesucht: alle lösungen
> >
> > Ansatz Aufgabe 1
> >
> > [mm]z+\overline{z}[/mm] = z * [mm]\overline{z}[/mm]
> >
> > x+jy+x-jy=(x+jy)*(x-jy)
> >
> > [mm]\Rightarrow y=\wurzel{2x-x^{2}}[/mm]
>
> Was ist mit [mm]y=-\sqrt{2x-x^2}[/mm] ?
Danke! hätte ich schon wieder vergessen ;)
>
> Schöner ist, wenn du quadr. Ergänzung machst, dann siehst
> du direkt, worauf es hinausläuft:
>
> Du hast ja zwischendurch [mm]2x=x^2+y^2[/mm], also [mm]x^2-2x+y^2=0[/mm]
>
> [mm]\gdw (x-1)^2+y^2=1[/mm]
>
> Und was das ist, weißt du seit der Mittelstufe ...
Ja, Kreis mit Radius eins um (1|0).
>
> >
> > Muss ich nun diese Funktion in mein Koordinatensystem
> > zeichnen?
>
> Jo, mache das mal!
>
> > Ich nehme an, dass alle Punkte auf dem Halbkreis
> > zur Lösung gehören, oder?
>
> Sogar alle auf dem Kreis!
>
> >
> > Ansatz Aufgabe 2
> >
> > Hab jetzt einfach den Betrag ausgerechnet.
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] |x+jy-j|=|x+jy+j|
> >
> > [mm]\Rightarrow \wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}=\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}[/mm]
>
> >
> > Jetzt weis ich nicht wie weiter verfahren werden soll und
> > wie ich die Menge in die Ebene einzeichne.
>
> Quadrieren und auflösen ...
>
> Oder direkt geometrisch überlegen:
>
> In [mm]M_2[/mm] sind alle [mm]z\in\IC[/mm], die von i und -i denselben
> Abstand haben.
>
> Was könnte das wohl sein?
Alle Punkte auf der Reellen Achse. Sprich: y=0
>
>
>
> >
> > Ansatz Aufgabe 3
> >
> > bekomme als Lösung [mm]y=x^{2}+y^{2}[/mm]
> > Stimmt das?
> >
> > Wie kann ich jetzt diese Gleichung Lösen?
> >
> > [mm]0=x^{2}+y^{2}-y[/mm]
> >
> > wäre jetzt mein Ansatz.
>
> Ja!
>
> > Rein aus der Logik erkenne ich die
> > Lösungen
> >
> > x=0,5 y=0,5 sowie x=-0,5 und y=0,5.
>
> Und alle weiteren Lösungen?
>
> >
> > Es muss dafür aber doch auch eine Lösungsformel geben,
> > oder?
>
> Ja, mache quadr. Ergänzung!
>
> [mm]x^2+y^2-y=0\gdw x^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2[/mm]
>
>
gruß
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So, denke ich hab nun die Lösung.
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] (y-0,5)^{2}=0,25
[/mm]
[mm] (y-0,5)^{2} [/mm] = [mm] 0,25-x^{2}
[/mm]
[mm] y-0,5=\pm\wurzel{0,25-x^{2}}
[/mm]
[mm] y=\pm\wurzel{0,25-x^{2}} [/mm] +0,5
Lösungsmenge ist also [mm] x\in[-0,5;0,5]
[/mm]
Im Definitionsbereich [mm] x\in [/mm] [-0,5;0,5]
Wäre nett wenn mir das noch jemand bestätigen könnte.
gruß und Dankeschön für die Hilfestellungen!
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Hallo Valerie20,
> So, denke ich hab nun die Lösung.
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm](y-0,5)^{2}=0,25[/mm]
>
> [mm](y-0,5)^{2}[/mm] = [mm]0,25-x^{2}[/mm]
>
> [mm]y-0,5=\pm\wurzel{0,25-x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y=\pm\wurzel{0,25-x^{2}}[/mm] +0,5
>
> Lösungsmenge ist also [mm]x\in[-0,5;0,5][/mm]
>
> Im Definitionsbereich [mm]x\in[/mm] [-0,5;0,5]
>
> Wäre nett wenn mir das noch jemand bestätigen könnte.
>
> gruß und Dankeschön für die Hilfestellungen!
>
Gruss
MathePower
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Hallo Valerie20,
> Ich erhalte dann also einen eine Kreisgleichung der Form:
>
> [mm]r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}[/mm]
>
> [mm](0,5)^{2}=x^{2}[/mm] + [mm](y-0,5)^{2}[/mm]
>
> Sprich einen Kreis mit Radius [mm]\bruch{1}{2}[/mm] Mittelpunkt
> (0|0,5).
> Wie aber gebe ich jetzt die Lösung an?
So:
[mm]L=\left\{\left(x,y\right) \in \IR^{2} \left|\right \ (0,5)^{2}=x^{2} +(y-0,5)^{2} \ \right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo Valerie20,
> > Hallo Schachuzipus,
> >
> > > [mm]M={z\in\IC| z+\overline{z} = z * \overline{z}}[/mm]
> > >
> > > Soll in der Komplexen Ebene dargestellt werden.
> > >
> > > [mm]M={z\in\IC| |z-i| = |z+i|}[/mm]
> > >
> > > M Soll in der Komplexen Ebene dargestellt werden.
> > >
> > > [mm]\overline{z}*z=\bruch{z-\overline{z}}{2j}[/mm]
> > >
> > > Gesucht: alle lösungen
> > >
> > > Ansatz Aufgabe 1
> > >
> > > [mm]z+\overline{z}[/mm] = z * [mm]\overline{z}[/mm]
> > >
> > > x+jy+x-jy=(x+jy)*(x-jy)
> > >
> > > [mm]\Rightarrow y=\wurzel{2x-x^{2}}[/mm]
> >
> > Was ist mit [mm]y=-\sqrt{2x-x^2}[/mm] ?
>
> Danke! hätte ich schon wieder vergessen ;)
>
> >
> > Schöner ist, wenn du quadr. Ergänzung machst, dann siehst
> > du direkt, worauf es hinausläuft:
> >
> > Du hast ja zwischendurch [mm]2x=x^2+y^2[/mm], also [mm]x^2-2x+y^2=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw (x-1)^2+y^2=1[/mm]
> >
> > Und was das ist, weißt du seit der Mittelstufe ...
>
> Ja, Kreis mit Radius eins um (1|0).
>
> >
> > >
> > > Muss ich nun diese Funktion in mein Koordinatensystem
> > > zeichnen?
> >
> > Jo, mache das mal!
> >
> > > Ich nehme an, dass alle Punkte auf dem Halbkreis
> > > zur Lösung gehören, oder?
Ja.
> >
> > Sogar alle auf dem Kreis!
> >
> > >
> > > Ansatz Aufgabe 2
> > >
> > > Hab jetzt einfach den Betrag ausgerechnet.
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] |x+jy-j|=|x+jy+j|
> > >
> > > [mm]\Rightarrow \wurzel{x^{2}+(y-1)^{2}}=\wurzel{x^{2}+(y+1)^{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Jetzt weis ich nicht wie weiter verfahren werden soll und
> > > wie ich die Menge in die Ebene einzeichne.
> >
> > Quadrieren und auflösen ...
> >
> > Oder direkt geometrisch überlegen:
> >
> > In [mm]M_2[/mm] sind alle [mm]z\in\IC[/mm], die von i und -i denselben
> > Abstand haben.
> >
> > Was könnte das wohl sein?
>
> Alle Punkte auf der Reellen Achse. Sprich: y=0
>
>
> gruß
>
>
Gruss
MathePower
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