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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 So 21.06.2015 | | Autor: | hilbert |
Ich habe eine Frage über die e-Funktion in den komplexen Zahlen. Kann ich dort folgende Abschätzung machen?
[mm] \left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{(j+1)!}\right|\leq\left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{j!}\right|=\left|e^{ix}\right|=1?
[/mm]
x soll eine reelle Zahl sein. Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 So 21.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Frage über die e-Funktion in den komplexen
> Zahlen. Kann ich dort folgende Abschätzung machen?
>
> [mm]\left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{(j+1)!}\right|\leq\left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{j!}\right|=\left|e^{ix}\right|=1?[/mm]
>
> x soll eine reelle Zahl sein. Vielen Dank im Voraus!
Wie begruendest du das "kleiner gleich" ????
Du kommst zum Ziel, wenn Du auf die Summe links die Dreiecksungleichung loslaesst und dann abschaetzt.
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 21.06.2015 | | Autor: | hilbert |
Dann versuch ich das mal.
[mm] \left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{(j+1)!}\right|\leq\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left|ix\right|^j}{(j+1)!}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left|x\right|^j}{(j+1)!}
[/mm]
und jetzt bekomme ich das doch nur noch kleiner als [mm] e^{\left|x\right|} [/mm] oder nicht? Das Ziel war ja ein Wert unabhängig von x. Leider schaffe ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 21.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann versuch ich das mal.
>
> [mm]\left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{(j+1)!}\right|\leq\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left|ix\right|^j}{(j+1)!}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left|x\right|^j}{(j+1)!}[/mm]
>
> und jetzt bekomme ich das doch nur noch kleiner als
> [mm]e^{\left|x\right|}[/mm] oder nicht? Das Ziel war ja ein Wert
> unabhängig von x.
du hast recht.das war ein Griff ins klo von mir !
FRED
> Da Leider schaffe ich das nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 21.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine Frage über die e-Funktion in den komplexen
> Zahlen. Kann ich dort folgende Abschätzung machen?
>
> [mm]\left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{(j+1)!}\right|\leq\left|\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{j!}\right|=\left|e^{ix}\right|=1?[/mm]
>
> x soll eine reelle Zahl sein. Vielen Dank im Voraus!
Der "Ratschlg" in meiner ersten Antwort war nix.
Aber: für x [mm] \ne [/mm] 0 ist
[mm] \sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{(j+1)!}=\bruch{1}{ix}*\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^{j+1}}{(j+1)!}=\bruch{e^{ix}-1}{ix}
[/mm]
FRED
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