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Hallo,
ich habe eine Frage zur komplexen Fourierreihe.
Wenn der komplexe Fourierkoeffizient z. B.
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{10i}{\pi*(2n+1)} [/mm]
ist, wie lautet dann die Fourierreihe?
[mm]f(x) = \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{10i}{\pi*(2n+1)}*e^{i(2*n+1)t} [/mm]
, wie auch im Reellen, oder
[mm]f(x) = \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{10i}{\pi*(2n+1)}*e^{i*n*t} [/mm]
In meiner Formelsammlung steht nur die zweite Variante.
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur komplexen Fourierreihe.
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> Wenn der komplexe Fourierkoeffizient z. B.
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> [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\bruch{10i}{\pi*(2n+1)}[/mm]
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> ist, wie lautet dann die Fourierreihe?
Hallo, die Koeffizienten sind immer reell, also nehm ich an du hast [mm] c_n [/mm] erfunden?
> [mm]f(x) = \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{10i}{\pi*(2n+1)}*e^{i(2*n+1)t} [/mm]
>
> , wie auch im Reellen, oder
Wieso ist das im reellen so- versteh ich nicht!
> [mm]f(x) = \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{10i}{\pi*(2n+1)}*e^{i*n*t} [/mm]
>
> In meiner Formelsammlung steht nur die zweite Variante.
Die ist auch richtig.
nur weil in [mm] c_n [/mm] zufällig 2n+1 vorkommt hat das doch mit dem Exponenten ix zu tun, wenn da [mm] n^2 [/mm] vorkommt usw, dann doch auch nicht! und mit dem reellen musst du da auch was falsch haben! (es kann vorkommen, dass alle [mm] C_n [/mm] mit n gerade 0 sind, meinst du das?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
vielen Dank für die Antwort. War ein dummer Denkfehler von mir.
Der Koeffizient ergab sich aus der Funktion
[mm]f(t) = 5 +3*e^{i*t}[/mm] für |t| [mm] \le \pi
[/mm]
von der die komplexen Koeffizienten ermittelt werden sollten; eine Aufgabe aus dem post von Thorin VIII, bzw. dessen Prof.
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} (5 +3*e^{i*t})*e^{-int}\, dt [/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{5}{2*\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} e^{-int}\, dt + \bruch{3}{2*\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi} e^{i(1-n)t}\, dt[/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{5}{2*\pi}* \left[ \bruch{1}{-in}*e^{-int} \right]_{-\pi}^{\pi} + \bruch{3}{2*\pi}* \left[\bruch{1}{i(1-n)}*e^{i(1-n)t}\right]_{-\pi}^{pi}[/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{5i}{2*\pi*n}* \left[ e^{-int} \right]_{-\pi}^{\pi} - \bruch{3i}{2*\pi*n}* \left[e^{i(1-n)t}\right]_{-\pi}^{pi}[/mm]
[mm]c_{n}=\bruch{5i}{2*\pi*n}* \left[cos(nt)-i*sin(nt) \right]_{-\pi}^{\pi} - \bruch{3i}{2*\pi*n}* \left[cos((1-n)t)+i*sin((1-n)t)\right]_{-\pi}^{pi}[/mm]
Hier bekomme ich einen imaginären Koeffizienten heraus. Habe ich mich verrechnet?
Bei dem Integral kommt allerdings Null heraus. Ich nehme an, das liegt daran, das der Intergrationsbereich der Ursprungsfunktion
[mm]f(t) = 5 +3*e^{i*t}[/mm]
in der Gaußschen Zahlenebene einen Kreis darstellt, wobei die Hälfte jeweils unter und über der reellen Achse liegt ?
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst den Fall n=0 und n=1 einzeln betrachten! da du ja durch n und 1-n dividierst!
ausserdem versteh ich die ganze Rechnung nicht.
es ist doch direkt [mm] c_0 [/mm] =5 [mm] c_1 [/mm] =3 das ist doch schon ne Fourrierriehe. das ist wie wenn du 5+x in ne Taylorreihe entwickelst.
aber deine Rechnung ergibt ja zum Glück auch dass alle [mm] c_n [/mm] für [mm] n\ne [/mm] 1 oder 0 , 0 ergeben!
und das was vor den Integralen steht, die 0 sind sind natürlich nicht die Fourrierkoeff. und deshalb sind die auch nicht komplex!
Gruss leduart
Gru
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 So 08.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
Danke für die Berichtigung.
LG, Martnius
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