komplexe Potenzreihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] g(z)=\bruch{z}{(z+2i)(z-3)}
[/mm]
a) In einer Umgebung von 0 kann man $g$ als Potenzreihe schreiben:
[mm] g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\alpha_nz^n
[/mm]
Wieso stimmt diese Behauptung?
b) Welchen Konvergenzradius hat [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\alpha_nz^n [/mm] ?
c) Berechnen Sie [mm] \alpha_0 [/mm] und [mm] \alpha_1 [/mm] |
Guten Tag liebes Mathe-Team,
ich wollte fragen, ob meine Lösung umfangreich genug ist bzw. Fehler enthält.
zur a)
$g$ ist in [mm] z_0=0\in$U$ [/mm] analytisch mit [mm] B_2(0)\subset [/mm] U (Singularitäten bei -2i und 3) für die dann gilt:
[mm] g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\alpha_n(z-0)^n [/mm] für [mm] z\in B_2(0),
[/mm]
denn [mm] g:B_2(0)\to\IC [/mm] ist offensichtlich holomorph.
zu b)
Der Konvergenzradius ist nach einem Satz aus der Vorlesung [mm] R\ge2 [/mm] (eigentlich ist der Konvergenzradius doch =2 ... müsste ich das hier noch ausrechnen?) und es gilt für alle [mm] z\in B_2(0):
[/mm]
[mm] g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}g^{(n)}(0)z^n
[/mm]
zu c)
[mm] \alpha_0=0 [/mm] da g(0)=0
[mm] \alpha_1=\bruch{1}{6}i, [/mm] da [mm] g'(z)=\bruch{-z^2-6i}{(z+2i)^2(z-3)^2}
[/mm]
Beste Grüße,
Alex
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Di 17.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei [mm]g(z)=\bruch{z}{(z+2i)(z-3)}[/mm]
>
> a) In einer Umgebung von 0 kann man [mm]g[/mm] als Potenzreihe
> schreiben:
>
> [mm]g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\alpha_nz^n[/mm]
>
> Wieso stimmt diese Behauptung?
>
> b) Welchen Konvergenzradius hat
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\alpha_nz^n[/mm] ?
>
> c) Berechnen Sie [mm]\alpha_0[/mm] und [mm]\alpha_1[/mm]
> Guten Tag liebes Mathe-Team,
>
> ich wollte fragen, ob meine Lösung umfangreich genug ist
> bzw. Fehler enthält.
>
> zur a)
>
> [mm]g[/mm] ist in [mm]z_0=0\in[/mm] [mm]U[/mm] analytisch mit [mm]B_2(0)\subset[/mm] U
> (Singularitäten bei -2i und 3) für die dann gilt:
>
> [mm]g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\alpha_n(z-0)^n[/mm] für [mm]z\in B_2(0),[/mm]
>
> denn [mm]g:B_2(0)\to\IC[/mm] ist offensichtlich holomorph.
Na ja.....
Wir setzen G:= [mm] \IC \setminus \{3, -2i\}.
[/mm]
Dann ist g auf G holomorph. Da 0 [mm] \in [/mm] G, besagt der Satz über die Entwickelbarkeit in Potenzreihen, dass man g in einer Umgebung von 0 als Potenzreihe schreiben kann.
>
> zu b)
>
> Der Konvergenzradius ist nach einem Satz aus der Vorlesung
> [mm]R\ge2[/mm] (eigentlich ist der Konvergenzradius doch =2 ...
> müsste ich das hier noch ausrechnen?)
Nein, ausrechnen mußt Du das nicht, aber begründen:
Der Satz besagt, dass der Konvergenzradius mindestens so groß ist wie der Abstand von [mm] z_0=0 [/mm] zum Rand von G, der Konvergenzradius ist also [mm] \ge [/mm] 2.
Wäre er >2, so hätte g in -2i eine hebbare Singularität. Ist das der Fall ?
> und es gilt für
> alle [mm]z\in B_2(0):[/mm]
>
> [mm]g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}g^{(n)}(0)z^n[/mm]
>
> zu c)
>
> [mm]\alpha_0=0[/mm] da g(0)=0
> [mm]\alpha_1=\bruch{1}{6}i,[/mm] da
> [mm]g'(z)=\bruch{-z^2-6i}{(z+2i)^2(z-3)^2}[/mm]
Das stimmt.
FRED
>
> Beste Grüße,
> Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Di 17.07.2012 | | Autor: | Quadratur |
Danke für deine Hilfe Fred,
> Na ja.....
>
> Wir setzen G:= [mm]\IC \setminus \{3, -2i\}.[/mm]
>
> Dann ist g auf G holomorph. Da 0 [mm]\in[/mm] G, besagt der Satz
> über die Entwickelbarkeit in Potenzreihen, dass man g in
> einer Umgebung von 0 als Potenzreihe schreiben kann.
>
Da stimme ich dir zu.
> Nein, ausrechnen mußt Du das nicht, aber begründen:
>
> Der Satz besagt, dass der Konvergenzradius mindestens so
> groß ist wie der Abstand von [mm]z_0=0[/mm] zum Rand von G, der
> Konvergenzradius ist also [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Wäre er >2, so hätte g in -2i eine hebbare
> Singularität. Ist das der Fall ?
Nun, das ist nicht der Fall, wenn man sich den Limes für zum Beispiel [mm] it\mapsto-2i [/mm] anschaut. Dieser strebt gegen [mm] \infty. [/mm] Demnach ist $g$ in einer Umgebung von $-2i$ nicht beschränkt und damit auch nicht hebbar.
Gruß,
Alex
|
|
|
|
