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| Aufgabe | | hallo! bei meiner aufgabe ist die frage, für welche(s) z [mm] \in \IC [/mm] diese reihe konvergiert: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^2} [/mm] |
ich find das voll komisch, dass nach was komplexem gesucht wird, weil bei komplexen zahlen gibt es ja sowas wie > oder < nicht. Wie auch immer, ich weiß gar nicht wie ich an diese aufgabe ran gehen kann, weiß jemand rat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Julchen_B,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo! bei meiner aufgabe ist die frage, für welche(s) z
> [mm]\in \IC[/mm] diese reihe konvergiert:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^2}[/mm]
> ich find das voll komisch, dass nach was komplexem gesucht
> wird, weil bei komplexen zahlen gibt es ja sowas wie > oder
> < nicht. Wie auch immer, ich weiß gar nicht wie ich an
> diese aufgabe ran gehen kann, weiß jemand rat?
>
Zum Beispiel kannst Du mit dem ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium beginnen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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darf ich noch eine zwischenfrage stellen? gibt es so was wie häufungspunkt auch für komplexe folgen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 30.11.2011 | | Autor: | abakus |
> darf ich noch eine zwischenfrage stellen? gibt es so was
> wie häufungspunkt auch für komplexe folgen?
Hallo,
wie würdest du es bezeichnen, wenn in jedem noch so winzigen Kreis um einen Punkt in der GZE unendlich viele Zahlen einer komplexen Folge liegen?
Gruß Abakus
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dann würd ich sagen das ist ein häufungspunkt 
und danke für den tipp! ich bin bis hierhin gekommen: [mm] \left|\bruch{\bruch{z^{n+1}}{(n+1)^2}}{\bruch{z^n}{n^2}}\right|=\left|\bruch{z^{n+1}\cdot n^2}{z^n\cdot (n+1)^2}\right|=|z|\bruch{n^2}{(n+1)^2}=\wurzel{z\overline{z}}\bruch{n^2}{(n+1)^2} [/mm] < 1
[mm] \gdw n^2\wurzel{z\overline{z}} [/mm] < [mm] (n+1)^2 \gdw n^2\wurzel{(a+bi)(a-bi)} [/mm] < [mm] (n+1)^2 \gdw n^2\wurzel{a^2+b^2} [/mm] < [mm] (n+1)^2
[/mm]
nur wie komm ich jetzt weiter...?
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Hallo Julchen_B,
> dann würd ich sagen das ist ein häufungspunkt
>
> und danke für den tipp! ich bin bis hierhin gekommen:
> [mm]\left|\bruch{\bruch{z^{n+1}}{(n+1)^2}}{\bruch{z^n}{n^2}}\right|=\left|\bruch{z^{n+1}\cdot n^2}{z^n\cdot (n+1)^2}\right|=|z|\bruch{n^2}{(n+1)^2}=\wurzel{z\overline{z}}\bruch{n^2}{(n+1)^2}[/mm]
> < 1
>
> [mm]\gdw n^2\wurzel{z\overline{z}}[/mm] < [mm](n+1)^2 \gdw n^2\wurzel{(a+bi)(a-bi)}[/mm]
> < [mm](n+1)^2 \gdw n^2\wurzel{a^2+b^2}[/mm] < [mm](n+1)^2[/mm]
>
Bringe das [mm]n^ {2}[/mm] auf die andere Seite
und bilde den Grenzwert
[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}}[/mm]
> nur wie komm ich jetzt weiter...?
>
Gruss
MathePower
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also [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}} [/mm] konvergiert gegen 1.
also muss ich im endeffekt dann noch zeigen für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] das gilt: [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] < 1 ?
hab ein dankeschön noch ganz vergssen
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Hallo Julchen_B,
> also [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}}[/mm]
> konvergiert gegen 1.
>
> also muss ich im endeffekt dann noch zeigen für welche a,b
> [mm]\in \IR[/mm] das gilt: [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm] < 1 ?
>
Das reicht doch schon, da z=a+bi.
Die Reihe konvergiert demnach für [mm]\vmat{z}<1[/mm].
> hab ein dankeschön noch ganz vergssen
Gruss
MathePower
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auf die gefahr hin dass ich mich gleich total lächerlich mach... aber wieso reicht dies schon? ich versteh deine begründung nicht ganz...
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> auf die gefahr hin dass ich mich gleich total lächerlich
> mach... aber wieso reicht dies schon? ich versteh deine
> begründung nicht ganz...
es geht hier um den konvergenz_radius_ von 1. da dies unendlich viele komplexe zahlen erfüllen (um den nullpunkt mit radius 1) ist es nun nicht angebbar, für welches z=a+jb das nun alles gilt. somit gilt: der betrag der komplexen zahl muss kleiner 1 sein (=kreis mit radius 1 um den nullpunkt). das versuchst du durch [mm] |z|=\sqrt{a^2+b^2}, [/mm] jedoch ist dein tun mit |z|<1 hier schon erfüllt, um diesen kreis (konvergenzgebiet) eindeutig zu beschreiben
gruß tee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hab ich was überlesen, aber der Fälle |z| =1 und |z|>1 wurden nicht betrachtet.
Für |z| [mm] \le [/mm] 1 haben wir: [mm] \bruch{|z|^n}{n^2} \le \bruch{1}{n^2} [/mm] .
Damit konv. $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^2} [/mm] $ absolut für |z| [mm] \le [/mm] 1
Ist |z|>1, so sieht man mit dem Wurzelkriterium, dass $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^n}{n^2} [/mm] $ divergiert.
FRED
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