komplexe Zahl, Quadrat in IC < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Amande |
| Aufgabe | Man zeige, dass jede komplexe Zahl ein Quadrat in [mm] \IC [/mm] ist.
D.h. zu reellen Zahlen a,b finde man reelle Zahlen c,d mit [mm] (c+id)^2=a+ib [/mm] |
Ich versuche jetzt schon eine ganze Weile diesen Beweis zu führen, der sicher nicht schwer ist.
Das Problem ist nur, ich hab jetzt gezeigt, dass wenn c,d reell sind auch a,b reell sind - was ja leider nicht gefragt ist...
[mm] (c+id)^2=a+ib
[/mm]
[mm] \gdw c^2 [/mm] + 2icd - [mm] d^2 [/mm] = a+ ib
[mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] c^2-d^2 [/mm] und b = 2cd (beide reell, wenn c,d reell)
Vielleicht hat jemand von euch einen Gedankenanstoß für mich?
Das wär klasse!
Vielen Dank!
Mandy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Man zeige, dass jede komplexe Zahl ein Quadrat in [mm]\IC[/mm] ist.
> D.h. zu reellen Zahlen a,b finde man reelle Zahlen c,d mit
> [mm](c+id)^2=a+ib[/mm]
> Ich versuche jetzt schon eine ganze Weile diesen Beweis zu
> führen, der sicher nicht schwer ist.
>
> Das Problem ist nur, ich hab jetzt gezeigt, dass wenn c,d
> reell sind auch a,b reell sind - was ja leider nicht
> gefragt ist...
Das hast du nicht gezeigt, sondern es gehört zur Aufgabenstellung, dass a,b,c,d allesamt reell sein sollen.
>
> [mm](c+id)^2=a+ib[/mm]
> [mm]\gdw c^2[/mm] + 2icd - [mm]d^2[/mm] = a+ ib
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = [mm]c^2-d^2[/mm] und b = 2cd (beide reell, wenn
> c,d reell)
>
> Vielleicht hat jemand von euch einen Gedankenanstoß für
> mich?
> Das wär klasse!
Jetzt hast du ein Gleichungssystem für die zwei Unbekannten c und d:
[mm] c^2 - d^2 = a[/mm]
[mm] 2*c*d = b[/mm]
( [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] als gegeben betrachten; eventuell zuerst ein konkretes Beispiel rechnen, etwa
mit [mm]a = - 5 , \ b = 12[/mm] , dies entspräche also der komplexen Zahl [mm] z = - 5 + 12 i [/mm] )
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Blutorange |
Noch einfacher ist es, das ganze in Polarkoordinaten zu schreiben.
[mm] z_1=a+bi=r_1*e^{i\alpha_1}
[/mm]
[mm] z_2=c+di=r_2*e^{i\alpha_2}
[/mm]
[mm] z_2^2=z_1
[/mm]
[mm] r_2^2*e^{2i\alpha_2}=r_1*e^{i\alpha_1}
[/mm]
Also: [mm] r_2=\sqrt r_1 [/mm] und [mm] \alpha_2=\frac{\alpha_1}{2}
[/mm]
Da [mm] r_1=|z_1| [/mm] ist [mm] r_2>=0 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] ist auch immer reel. Damit ist eindeutig eine komplexe Zahl [mm] z_2 [/mm] definiert, deren Quadrat [mm] z_1 [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Amande |
Vielen Dank euch beiden - hat mir sehr geholfen! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Fips12 |
Hi!
Ich hab mir diesen Thread durchgelesen und versucht das Gleichungssystem zu lösen.
Es hakt jedoch irgendwie, so dass ich am Ende nicht sicher sagen kann, dass das d wirklich reell ist. Vielleicht kann sich jemand mal meine Rechnung anschauen?
Also, ich weiß:
(*) [mm] c^2-d^2 [/mm] = a
2cd = b [mm] \Rightarrow [/mm] c= [mm] \bruch{b}{2d}
[/mm]
Setze c in (*) ein:
[mm] \bruch{1}{4d^2}*b^2 [/mm] - [mm] d^2 [/mm] = a
[mm] \gdw b^2 [/mm] - [mm] 4d^4 [/mm] = [mm] a4d^2
[/mm]
[mm] \gdw 4d^4+a4d^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 0
Dann löse ich diese Gleichung durch Substitution und Mitternachtsformel:
setze u = [mm] d^2
[/mm]
[mm] 4u^2+a4u-b^2=0
[/mm]
Mitternachtsformel:
u = [mm] \bruch{-4a \pm \wurzel{16a^2+16b^2}}{8}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] u = [mm] \bruch{-a \pm \wurzel{a^2+b^2}}{2}
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \wurzel{a^2+b^2} [/mm] ist reell.
D.h. der ganze Bruch ist reell.
Aber wenn ich jetzt d = [mm] \wurzel{u} [/mm] berechne könnte es doch sein, dass ich die Wurzel aus etwas Negativem ziehe und dann wäre d komplex.
Warum kann ich argumentieren, dass mir das nicht passieren kann? Steh da irgendwie auf dem Schlauch
Ich seh das grad einfach nicht :(
Danke für eure Antwort!
Abendliche Grüße 
C.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Sa 19.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
>
> Setze c in (*) ein:
> [mm]\bruch{1}{4d^2}*b^2[/mm] - [mm]d^2[/mm] = a
> [mm]\gdw b^2[/mm] - [mm]4d^4[/mm] = [mm]a4d^2[/mm]
> [mm]\gdw 4d^4+a4d^2[/mm] - [mm]b^2[/mm] = 0
>
> Dann löse ich diese Gleichung durch Substitution und
> Mitternachtsformel:
> setze u = [mm]d^2[/mm]
> [mm]4u^2+a4u-b^2=0[/mm]
>
> Mitternachtsformel:
> u = [mm]\bruch{-4a \pm \wurzel{16a^2+16b^2}}{8}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] u = [mm]\bruch{-a \pm \wurzel{a^2+b^2}}{2}[/mm]
>
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 \ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow \wurzel{a^2+b^2}[/mm] ist reell.
> D.h. der ganze Bruch ist reell.
>
> Aber wenn ich jetzt d = [mm]\wurzel{u}[/mm] berechne könnte es doch
> sein, dass ich die Wurzel aus etwas Negativem ziehe und
> dann wäre d komplex.
richtig, aber da ja [mm] \wurzel{a^2+b^2}>a [/mm] ist, ist [mm] -a+\wurzel{a^2+b^2}>0 [/mm] und du hast garantiert ein reelles d!(die andere Lösung kann dir egal sein!
Gute Nacht leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Blutorange |
Und außerdem ist [mm] d=\pm \sqrt{u} [/mm] und damit erhälst du immer 2 reele Lösungen [mm] z_1=(c,d), [/mm] denn es gibt immer zwei Zahlen [mm] z_1, [/mm] die quadriert eine bestimmte Zahl [mm] z_2 [/mm] ergeben!
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