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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 17.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^2+i [/mm] = 0 und schreiben Sie diese in der Form
a+bi |
Hallo.
Ich habe da leider keine Ahnung, soll ich dann:
[mm] $z^2+i=0$
[/mm]
[mm] $z^2 [/mm] = - i$
$z = [mm] \wurzel{i}$
[/mm]
Was ist denn Wurzel i? Das gibts doch gar nicht. Mein Ansatz muss also falsch sein....
Grüße
Phoney
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Hallo Phoney,
> Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^2+i[/mm] = 0 und
> schreiben Sie diese in der Form
> a+bi
> Hallo.
>
> Ich habe da leider keine Ahnung, soll ich dann:
>
> [mm]z^2+i=0[/mm]
>
> [mm]z^2 = - i[/mm]
>
> [mm]z = \wurzel{i}[/mm]
> Was ist denn Wurzel i? Das gibts doch gar
> nicht. Mein Ansatz muss also falsch sein....
Wieso? In den komplexen Zahlen gibt's zu *jeder* natürlichen Zahl $n$ $n$ verschiedene Lösungen der Gleichung [mm] $z^n=1$. [/mm] Jetzt mußt Du nur noch schaun: Für welche Werte von [mm] $\phi$ [/mm] ist [mm] $\cos{4\phi}=0,\quad \sin{4\phi}=-1$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 17.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
> > Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^2+i[/mm] = 0 und
> > schreiben Sie diese in der Form
> > a+bi
> > Hallo.
> >
> > Ich habe da leider keine Ahnung, soll ich dann:
> >
> > [mm]z^2+i=0[/mm]
> >
> > [mm]z^2 = - i[/mm]
> >
> > [mm]z = \wurzel{i}[/mm]
> > Was ist denn Wurzel i? Das gibts doch
> gar
> > nicht. Mein Ansatz muss also falsch sein....
> Wieso? In den komplexen Zahlen gibt's zu *jeder*
> natürlichen Zahl [mm]n[/mm] [mm]n[/mm] verschiedene Lösungen der Gleichung
> [mm]z^n=1[/mm]. Jetzt mußt Du nur noch schaun: Für welche Werte von
> [mm]\phi[/mm] ist [mm]\cos{4\phi}=0,\quad \sin{4\phi}=-1[/mm]?
Das habe ich ja noch nie gesehen.
Wie kommt man auf [mm] ]\cos{(4\phi)}=0 [/mm] und [mm] \sin{(4\phi)}=-1
[/mm]
Ich meine, warum die 4? Warum die Null und die Minus 1? Und warum die Minus 1 beim Sinus und die Null beim Cosinus???
Die Formel nenn ich mal heftig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Aus Interesse möchte ich aber auch wissen, wie das mit dem Zahlenspieler-Ansatz hier zu verstehen ist.
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Hallo,
ich nenne Dir ein paar Stichworte.
Polardarstellung der komplexen Zahlen:
jede komplexe Zahl z läßt sich schreiben als [mm] z=r(cos\phi [/mm] + [mm] isin\phi) [/mm] mit [mm] r\in \IR^+_0 [/mm] und [mm] \phi\in [0,2\pi] [/mm] .
Formel v. Moivre: für [mm] z=r(cos\phi [/mm] + [mm] isin\phi) [/mm] ist [mm] z^n=r^n(cos(n\phi) [/mm] + [mm] isin(n\phi))
[/mm]
Dein "Fall" in Kürze:
Du suchst ein z mit [mm] z^2=-i
[/mm]
Man kann sich überlegen, daß |z|=1, also [mm] z=cos\phi [/mm] + [mm] isin\phi [/mm] .
Weiter folgt [mm] 1=z^4=cos(4\phi)+ isin(4\phi)
[/mm]
[mm] ==>1=cos(4\phi) [/mm] und [mm] 0=sin(4\phi)
[/mm]
Hieraus erhältst Du die Winkel.
Gruß v. Angela
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Hi, Phoney,
> Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^2+i[/mm] = 0 und
> schreiben Sie diese in der Form
> a+bi
>
> Ich habe da leider keine Ahnung, soll ich dann:
>
> [mm]z^2+i=0[/mm]
>
> [mm]z^2 = - i[/mm]
>
> [mm]z = \wurzel{i}[/mm]
Das muss aber eigentlich [mm] \pm \wurzel{-i} [/mm] heißen.
Ich würd' von Anfang an mit folgendem Ansatz rechnen:
z = a + bi. (mit reellen Zahlen a und b!)
Aus [mm] z^{2} [/mm] + i = 0 wird dann:
[mm] a^{2} [/mm] +2abi - [mm] b^{2} [/mm] + i = 0
Daraus erhältst Du:
(I) [mm] a^{2} [/mm] - [mm] b^{2} [/mm] = 0 (also: a = [mm] \pm [/mm] b)
(II) 2abi + i = 0 (also: 2ab = -1)
Woraus Du a und b berechnest und damit die Lösungen Deiner Gleichung.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 So 17.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
So ist es klar!
Dankeschön
Viele Grüße 
Phoney
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