komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:14 So 28.11.2004 | | Autor: | newbie |
Ich habe eine Aufgabe aufbekommen, die heißt, ich soll folgende Punktmenge skizzieren [mm] M={z\in\IC: \existsm(z^{2})>2}
[/mm]
Nun kann man für z=x+yi (x=Re, y=Im) schreiben und nun wollte ich entsprechend umstellen und rechnen und meine Frage ist nun, ob man komplexe Zahlen komponentenweise miteinander vergleichen kann? Kann man das überhaupt so schreiben:
[mm] (x,y)^{2}>(2,0) [/mm] => (x,y)*(x,y)>(2,0) => [mm] (x^{2}-y^{2},xy+yx)>2 [/mm] => [mm] (x^{2}-y^{2},2xy)>2 [/mm] also einmal [mm] x^{2}-y^{2}>2 [/mm] und y< [mm] \wurzel{ x^{2}-2} [/mm] ???
So richtig kann ich mir unter [mm] (z^{2}) [/mm] > 2 auch nichts vorstelllen...
Eine weitere Teilaufgabe, die ich noch anfange muss, wäre das gleiche nur eben für [mm] \bruch{z}{z-1} [/mm] < 1. Ich wollte schon mit Fallunterscheidung anfangen, aber irgendwie scheine ich dabei auch einen Denkfehler zu haben. Wäre nett, wenn jemand meine Verwirrung beseitigen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 So 28.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo newbie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine Aufgabe aufbekommen, die heißt, ich soll
> folgende Punktmenge skizzieren [mm]M={z\in\IC: \existsm(z^{2})>2}
[/mm]
Meinst du hier
[mm]M=\{z\in\IC: \exists m(z^{2})>2\}[/mm]
(das kommt heraus, wenn man deine Formel behebt)?
Was ist aber dann m(...)?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 So 28.11.2004 | | Autor: | frabi |
Hi Newbie.
> Ich habe eine Aufgabe aufbekommen, die heißt, ich soll
> folgende Punktmenge skizzieren [mm]M={z\in\IC: \existsm(z^{2})>2}
[/mm]
Irgendwie herrscht noch Verwirrung über Deine Definition der Menge $M$.
Diese: [mm] $M=\{z\in\IC: \exists m(z^{2})>2\}$ [/mm] ? und was bedeutet $m$?
oder vielleicht diese: [mm] $M=\{z\in\IC: |z^{2}|>2\}$ [/mm] ?
??
Was aber fest steht, ist dass es in den komplexen Zahlen keine Ordnungsrelation
$<$ gibt.
ABER: man kann von einer komplexen Zahl ja den Betrag [mm] $|\cdot|$ [/mm] bilden,
und diesen dann mit einer reellen Zahl vergleichen (weil der Betrag selbst wieder reell ist).
Ist es vielleicht das, was Du machen willst?!
viele Grüße
frabi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 03:47 So 28.11.2004 | | Autor: | newbie |
Ist etwas sehr ungewohnt hier zu schreiben aber danke auf jeden Fall für die schnelle Antwort  Das mit der Menge ist mir garnicht mal so aufgefallen, also so habe ich es sogar in meinem Hefter stehen: [mm] M={z\in\IC: \exists m(z^{2})>2} [/mm] Gut, bei den anderen beiden Teilaufgaben steht dann z.B. nur:
[mm] M={z\in\IC: \bruch{z}{z-1}<1} [/mm] Ich hab das natürlich damals einfach von der Tafel so abgeschrieben und im Nachhinein hat es mich auch gewundert das da keine Betragsstriche vorkamen (oder sollten seine Klammern Betragsstriche sein? ... ) Momentan versuche ich die Aufgabenstellung noch mit jemanden zu vergleichen... ok, dann eben davon abgesehen, also ich kann auch nicht dir Komponenten, also die Realteile und die Imaginärteile (welche ja reelle Zahlen sind, oder?) von zwei komplexen Zahlen miteinander vergleichen? Könnte man denn überhaupt die Aufgabe so ohne weiters lösen, wenn keine Betragsstriche vorkommen?
Tut mir echt leid, wenn ich hier so eine Verwirrung stifte...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 So 28.11.2004 | | Autor: | newbie |
Ok, ich bin jetzt einfach mal davon ausgegangen, dass der Übungsleiter die Betragsstriche vergessen hat oder ich nicht mehr richtig lesen kann:
[mm] M={z\in \IC:|z^{2}|>2} [/mm] demnach gilt: [mm] |z|^{2}>2 [/mm] So, und nun einfach die Wurzel ziehen? [mm] r=|z|>\wurzel{2}, [/mm] wodurch sich ein Kreis um den Punk (0,0) ergibt und alle Punkte außerhalb gehören zu der Punktmenge? Nur müsste es nicht [mm] r=|z|>\pm\wurzel{2} [/mm] heißen?
Und das gleiche für [mm] |\bruch{z}{z-1}|<1 \gdw \bruch{|z|}{|z-1|}<1 \gdw [/mm] |z|<|z-1| [mm] \Rightarrow [/mm] x>0,5 (wenn man für z= [mm] \wurzel{x^{2}+ y^{2}} [/mm] einsetzt und nach x umstellt). Richtig?
Und dann nochmal für |arg|< [mm] \bruch{\pi}{2} \wedge [/mm] |z|<1 Das erste würde bedeuten [mm] |\alpha|<90°, [/mm] es würde sich also wieder ein Kreis um den Punkt (0,0) ergeben, wobei nur der Kreisbereich zwischen den Winkelhalbierenden (in Bereich [mm] x\ge0) [/mm] zur Punktmenge gehört, richtig?
So, und nun ne letzte Frage^^ Wir sollen die Summe und das Produkt aller n-ten Einheitswurzeln in [mm] \IC [/mm] berechnen. Einheitswurzeln wären ja z= [mm] \wurzel[n]{1} [/mm] also mit [mm] \alpha=0° x_{n}=cos(\bruch{2k\pi}{n})+isin(\bruch{2k\pi}{n}) [/mm] mit k={0,1,...,n-1}
Ok, und das nun in das Summenzeichen [mm] \summe_{i=0}^{n-1} [/mm] bzw. Produktzeichen [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} [/mm] reinpacken und ausrechnen??? So, und da fange ich an zu scheitern... kann man eventuell auch statt den ganzen Ausdruck die Summe bzw. das Produkt von allen [mm] e^{\bruch{i2k\pi}{n}}??? [/mm] Aber selbst das würde mir nicht wirklich weiterhelfen oder übersehe ich das etwas?
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Hallo, newbie
für |z| < |z - 1| muß schon auf z = x + yi
x²+y² < (x-1)²+y²
x² < x² - 2x + 1
2x < 1 x < 0,5
für die Addition der Einheitswurzel
betrachte
am Besten die Kreisteilungsgleichung
[mm] $z^n [/mm] - 1 = 0 = [mm] (z-1)*(z^{n-1}+z^{n-2}+ [/mm] ... [mm] z^1+z^0)$
[/mm]
für die Multiplikation addiere einfach die Winkel
(
Produkt z1*z2 in BetragsWinkelform ist ProduktDerBeträge, SummeDerWinkel
)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 28.11.2004 | | Autor: | newbie |
Bei der Multiplikation müsste sich dann aus:
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}(\bruch{2k\pi}{n}) [/mm] folgendes [mm] \alpha_{ges.} [/mm] = [mm] \pi(n-1) [/mm] ergeben und da |z| immer gleich bleibt (irgendeine wurzel aus eins ist ja immer eins), kommt dann dafür raus [mm] |z|_{ges.} [/mm] = [mm] |z|^{n} [/mm] Wäre somit die richtige Lösung dann:
[mm] |z|^{n}*(cos(\pi(n-1))+sin(\pi(n-1))) [/mm] ???
Die Addition muss ich mir noch anschauen, wobei, wenn ich alle Punkte mit dem gleichen Abstand zu einen bestimmten Punkt addiere (bei dem Einheitskreis ja der Punkt (1,0)), müsste das nicht null werden? Der Gedanke ist mir jetzt nur spontan gekommen, kann aber auch sein, dass ich total falsch liege... :-(
PS: Und noch ein riesiges Dankeschön für die Antwort ))
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Hallo, newbie,
Multiplikation
bis auf Schreibfehler ( ...i*sin... ) ok, und [mm] |z|^n [/mm] ist für die Einheitswurzeln natürlich 1
Addition
der "lange Faktor" in der Kreisteilungsgleichung enthält ja die Summe der Wurzeln
und ihre "Lösungen" sind z=1 und z^(n-1) + .... z²+z+1 = 0
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