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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mi 23.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+iy für [mm] x,y\in\IR:
[/mm]
a) [mm] \bruch{2+3i}{3-4i}
[/mm]
b) [mm] (-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^{3}
[/mm]
c) [mm] i^{1879}+i^{-1879}
[/mm]
d) [mm] (1+i)^{6}+(1-i)^{6} [/mm] |
Hallöchen;)
Also Teilaufgabe a) habe ich geschafft:
[mm] \bruch{(2+3i)(3+4i)}{3-4i)(3+4i)}=\bruch{6+8i+9i+12i^{2}}{9+12i-12i-16i^{2}}=\bruch{6+17i+12i^{2}}{9-16i^{2}} [/mm] dabei wird das [mm] i^{2} [/mm] durch (-1) ersetzt = [mm] \bruch{6+17i-12}{9+16}=-\bruch{6}{25}+i\bruch{17}{25}
[/mm]
Was muss ich denn bei b) tun?
Habe gedacht, mit ausmultiplizieren könnte dies gehen. Stimmt das? Und wie muss man das dann tun?
Bei Teilaufgabe c):
Stimmt das hier?:
[mm] i^{1879} [/mm] kann man schreiben als [mm] i^{(4+4+4+4...+4)} [/mm] dies 469 mal und der Rest bleibt 3 => [mm] i^{(4+4+4...+4)+3} [/mm] und das Gleiche mit [mm] i^{-1879}. [/mm] Aber bringt mir das was? Und wie weiter?
Und bei Nummer d)?
[mm] (1+i)^{6}+(1-i)^{6}
[/mm]
=> kann ich mir kaum vorstellen, dies auszumultiplizieren, oder?
Vielen Dank im Voraus.
lg ;)
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> Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form
> x+iy für [mm]x,y\in\IR:[/mm]
> a) [mm]\bruch{2+3i}{3-4i}[/mm]
> b) [mm](-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^{3}[/mm]
> c) [mm]i^{1879}+i^{-1879}[/mm]
> d) [mm](1+i)^{6}+(1-i)^{6}[/mm]
> Hallöchen;)
>
> Also Teilaufgabe a) habe ich geschafft:
>
> [mm]\bruch{(2+3i)(3+4i)}{3-4i)(3+4i)}=\bruch{6+8i+9i+12i^{2}}{9+12i-12i-16i^{2}}=\bruch{6+17i+12i^{2}}{9-16i^{2}}[/mm]
> dabei wird das [mm]i^{2}[/mm] durch (-1) ersetzt =
> [mm]\bruch{6+17i-12}{9+16}=-\bruch{6}{25}+i\bruch{17}{25}[/mm]
richtig
>
> Was muss ich denn bei b) tun?
> Habe gedacht, mit ausmultiplizieren könnte dies gehen.
> Stimmt das? Und wie muss man das dann tun?
geht z.B. durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel
>
> Bei Teilaufgabe c):
> Stimmt das hier?:
> [mm]i^{1879}[/mm] kann man schreiben als [mm]i^{(4+4+4+4...+4)}[/mm] dies
> 469 mal und der Rest bleibt 3 => [mm]i^{(4+4+4...+4)+3}[/mm] und das
> Gleiche mit [mm]i^{-1879}.[/mm] Aber bringt mir das was? Und wie
> weiter?
[mm] i^{1879}=(i^4)^{469}*i^3=i^3
[/mm]
>
> Und bei Nummer d)?
> [mm](1+i)^{6}+(1-i)^{6}[/mm]
> => kann ich mir kaum vorstellen, dies auszumultiplizieren,
> oder?
Du könnest z.B [mm] (1+i)^6=((1+i)^2)^3 [/mm] rechnen, dann ist das nicht mehr so schwierig.
>
> Vielen Dank im Voraus.
> lg ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 23.11.2011 | | Autor: | unibasel |
Zu Teilaufgabe b)
lautet mein Resultat: [mm] \bruch{1}{4}+i\bruch{9}{8}
[/mm]
> > Bei Teilaufgabe c):
> > Stimmt das hier?:
> > [mm]i^{1879}[/mm] kann man schreiben als [mm]i^{(4+4+4+4...+4)}[/mm] dies
> > 469 mal und der Rest bleibt 3 => [mm]i^{(4+4+4...+4)+3}[/mm] und das
> > Gleiche mit [mm]i^{-1879}.[/mm] Aber bringt mir das was? Und wie
> > weiter?
>
> [mm]i^{1879}=(i^4)^{469}*i^3=i^3[/mm]
Zu dieser Aufgabe habe ich dann die Lösung 0 bekommen:
[mm] i^{1879}=(i^{4})^{469}*i^{3}=((i^{2})^{2})^{469}*i^{3}=(1^{469})*i^{3}=i^{3}
[/mm]
Das Gleiche also mit dem negativen Teil = [mm] -i^{3}
[/mm]
Daraus folgt dann: [mm] i^{3}+(-i^{3})=0
[/mm]
Stimmt dies?
> >
> > Und bei Nummer d)?
> > [mm](1+i)^{6}+(1-i)^{6}[/mm]
> > => kann ich mir kaum vorstellen, dies
> auszumultiplizieren,
> > oder?
>
> Du könnest z.B [mm](1+i)^6=((1+i)^2)^3[/mm] rechnen, dann ist das
> nicht mehr so schwierig.
>
Hier habe ich dies erhalten:
[mm] ((1+i)^{2})^{3}=((1+i)(1+i)^{3}=(1+2i+i^{2})^{3}=(1+2i+(-1))^{3}=(2i)^{3}=2(i^{2})i=-2i
[/mm]
Stimmt das?
Übringens vielen Dank für deine Hilfe :)
Viele Grüsse
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> Zu Teilaufgabe b)
> lautet mein Resultat: [mm]\bruch{1}{4}+i\bruch{9}{8}[/mm]
das stimmt nicht, da muss noch ein rechenfehler drinstecken
>
> > > Bei Teilaufgabe c):
> > > Stimmt das hier?:
> > > [mm]i^{1879}[/mm] kann man schreiben als [mm]i^{(4+4+4+4...+4)}[/mm]
> dies
> > > 469 mal und der Rest bleibt 3 => [mm]i^{(4+4+4...+4)+3}[/mm] und das
> > > Gleiche mit [mm]i^{-1879}.[/mm] Aber bringt mir das was? Und wie
> > > weiter?
> >
> > [mm]i^{1879}=(i^4)^{469}*i^3=i^3[/mm]
>
> Zu dieser Aufgabe habe ich dann die Lösung 0 bekommen:
>
> [mm]i^{1879}=(i^{4})^{469}*i^{3}=((i^{2})^{2})^{469}*i^{3}=(1^{469})*i^{3}=i^{3}[/mm]
Das lässt sich noch weiter ausrechnen: [mm] i^3=i*i^2=-i
[/mm]
> Das Gleiche also mit dem negativen Teil = [mm]-i^{3}[/mm]
> Daraus folgt dann: [mm]i^{3}+(-i^{3})=0[/mm]
> Stimmt dies?
Erstmal kommt [mm] i^{-3} [/mm] raus. Das ist zwar (zufällig?) gleich [mm] -i^3=+i, [/mm] aber der Rechenweg überzeugt noch nicht.
Die Gesamtlösung 0 stimmt.
> > >
> > > Und bei Nummer d)?
> > > [mm](1+i)^{6}+(1-i)^{6}[/mm]
> > > => kann ich mir kaum vorstellen, dies
> > auszumultiplizieren,
> > > oder?
> >
> > Du könnest z.B [mm](1+i)^6=((1+i)^2)^3[/mm] rechnen, dann ist das
> > nicht mehr so schwierig.
> >
> Hier habe ich dies erhalten:
>
> [mm]((1+i)^{2})^{3}=((1+i)(1+i)^{3}=(1+2i+i^{2})^{3}=(1+2i+(-1))^{3}=(2i)^{3}=2(i^{2})i=-2i[/mm]
Im vorletzten Schritt erhältst du den faktor [mm] 2^3=8, [/mm] ansonsten ist die Rechnung richtig
>
> Stimmt das?
Es fehlt noch der zweite Summand [mm] (1-6)^6, [/mm] der analog berechnet wird.
>
> Übringens vielen Dank für deine Hilfe :)
> Viele Grüsse
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