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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mo 11.07.2005 | | Autor: | espa |
Guten Tag,
ich möchte gerne wissen,ob einer von Ihnen mir sagen kann, an welchen Stellen die Abbildung von [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IC [/mm] mit z wird abgebildet auf z adjungiert (also mit dem Strich drüber) differenzierbar ist und wie dort die Ableitungen lauten.
Vielen herzlichen Dank für Ihre Hilfe.
Zuletzt versichere ich Ihnen: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo espa!
Diese Funktion [mm] $f(z)=\bar{z}$ [/mm] ist an keiner Stelle komplex differenzierbar. Man sieht das sofort über die CR-Differentialgleichungen, kann es aber auch direkt nachweisen.
Sei [mm] $z_0=x_0+iy_0$ [/mm] beliebig.
Dann gilt für [mm] $z_n=x_n+iy_0$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0$:
[/mm]
[mm] $\frac{f(z_n) - f(z_0)}{z_n-z_0} [/mm] = [mm] \frac{x_n-x_0}{x_n-x_0} [/mm] = 1$,
also auch:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(z_n) - f(z_0)}{z_n-z_0} [/mm] =1$.
andererseits aber für [mm] $\tilde{z_n}=x_0+iy_n$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} y_n=y_0$:
[/mm]
[mm] $\frac{f(\tilde{z_n}) - f(z_0)}{\tilde{z_n}-z_0} [/mm] = [mm] \frac{-iy_n+iy_0}{iy_n-iy_0} [/mm] = -1$,
also auch:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(\tilde{z_n}) - f(z_0)}{\tilde{z_n}-z_0} [/mm] =-1$.
An die Mods: Bitte nach Uni-Funktionentheorie verschieben, Danke! 
Viele Grüße
Julius
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