komplexe Zahlen im Dreieck < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Do 22.01.2009 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | | Innerhalb eines beliebigen Dreiecks ABC sei ein Punkt P so gewählt, dass die Winkel CAP und PBC gleich sind. D und E seien die Lotfußpunkte von P auf CB bzw. auf AC. Zeige, dass EM = DM, wenn M Mittelpunkt der Strecke AB ist. |
Die Aufgabenstellung habe ich leider nicht mehr wörtlich vorliegen. Deswegen könnte es sich unter Umständen etwas eigenartig anhören ;)
Leider habe ich gerade keine Skizze parat, ich hoffe ihr könnt euch vorstellen, wie es gemeint ist!
Die Lösung der Aufgabe habe ich schonmal gesehen, aber das ist allerdings ein bisschen her und ich habe sie leider auch nicht parat.
Ich weiß noch, dass die Lösung mit komplexen Zahlen recht einfach vonstatten ging.
Nachdem man festgestellt hat, dass die Dreiecke APE und PED ähnlich sind, kann man folgende Formeln aufstellen:
[mm]A - E = \lambda * i * E[/mm]
[mm]B - D = -\lambda * i * D[/mm]
Tja, und jetzt dürfte es sich nur noch um wenige denkbar triviale Schritte zur Lösungsfindung handeln. (Eventuell hilft weiter, dass M das arithmetische Mittel von A und B ist.)
Jedenfalls schaffe ich die letzten entscheidenden Schritte nicht, weil ich mit komplexen Zahlen so gar nicht vertraut bin. Trotzdem will ich wirklich die Lösung mit komplexen Zahlen kennenlernen, damit ich das darüber vielleicht endlich mal durchschaue!
Viele schöne Grüße
TuXoR
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Hallo tuxor,
Deinem Ansatz fehlt noch eine wesentliche Angabe. Du legst das Dreieck in die komplexe Zahlenebene, das ist soweit ok. Die Frage ist nun, ob es wirklich "irgendwo" in der Ebene liegt, oder ob sich Dinge vereinfachen, wenn es eine bestimmte Lage hat. Für mich sieht es so aus, als ob es geschickt wäre, den Ursprung in P zu haben.
> Leider habe ich gerade keine Skizze parat, ich hoffe ihr
> könnt euch vorstellen, wie es gemeint ist!
Naja, ich habe mir schon selbst eine gemacht...
> [...]
> Nachdem man festgestellt hat, dass die Dreiecke APE und PED
> ähnlich sind,
Das sind sie nicht. Ähnlich (wenn auch gespiegelt) sind APE und PBD
> kann man folgende Formeln aufstellen:
> [mm]A-E=\lambda*i*E[/mm]
> [mm]B-D=-\lambda*i*D[/mm]
Aha.
Das stimmt nur dann, wenn der Ursprung tatsächlich in P liegt!
> Tja, und jetzt dürfte es sich nur noch um wenige denkbar
> triviale Schritte zur Lösungsfindung handeln.
Stimmt.
Zu zeigen ist ja die Behauptung [mm] \a{}|E-M|=|D-M|.
[/mm]
Das geht jetzt so:
1) Deine beiden Gleichungen nach A und B umstellen:
[mm] A=E(1+\lambda \a{}i)
[/mm]
[mm] B=D(1-\lambda \a{}i)
[/mm]
2) M berechnen:
[mm] M=\bruch{A+B}{2}=\bruch{E(1+\lambda i)+D(1-\lambda i)}{2}
[/mm]
3) In Behauptung einsetzen:
[mm] |E-M|=\left|\bruch{E(1-\lambda i)-D(1-\lamda i)}{2}\right|=\left|(1-\lambda i)*\bruch{E-D}{2}\right|\red{=}\left|-(1+\lambda i)*\bruch{E-D}{2}\right|=\left|\bruch{-E(1+\lambda i)+D(1+\lambda i}{2}\right|=|D-M|
[/mm]
was zu zeigen war.
Natürlich ist es leichter, sich die Beträge |E-M| und |D-M| erst einmal einzeln aufzuschreiben.
Oben ist der wesentliche Schritt der am roten Gleichheitszeichen. Zugrunde liegt die Tatsache, dass [mm] \a{}|a+bi|=|a-bi| [/mm] und dass [mm] \a{}|c|=|-c|.
[/mm]
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Fr 23.01.2009 | | Autor: | tuxor |
> Die Frage ist nun, ob es wirklich "irgendwo" in der Ebene
> liegt, oder ob sich Dinge vereinfachen, wenn es eine
> bestimmte Lage hat. Für mich sieht es so aus, als ob es
> geschickt wäre, den Ursprung in P zu haben.
> [...]
> Das stimmt nur dann, wenn der Ursprung tatsächlich in P
> liegt!
Oh stimmt, davon bin ich einfach ausgegangen...
> > Nachdem man festgestellt hat, dass die Dreiecke APE und PED
> > ähnlich sind,
>
> Das sind sie nicht. Ähnlich (wenn auch gespiegelt) sind APE
> und PBD
Sorry, da habe ich mich verschrieben und es beim Kontrolllesen übersehen.
> Zu zeigen ist ja die Behauptung [mm]\a{}|E-M|=|D-M|.[/mm]
Ah gut, dann lag ich mit meinen eigenen Versuchen, die ich so auf dem Papier durchprobiert hatte, gar nicht mal so daneben.
> Zugrunde liegt die Tatsache, dass
> [mm]\a{}|a+bi|=|a-bi|[/mm] und dass [mm]\a{}|c|=|-c|.[/mm]
Genau das war mir nicht bewusst. Dabei ist es ja eigentlich ganz logisch, dass konjugierte komplexe Zahlen im Betrag gleich sind...
Also vielen Dank für deine hilfreiche Antwort :)
Gruß,
tuxor
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