komplexe/euklidische Kreise < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 05.03.2009 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Let [mm] S^{1}= [/mm] {z [mm] \in \IC [/mm] | |z|=1} be the unit circle in [mm] \IC. [/mm] Let A be a euclidean circle in [mm] \IC [/mm] with euclidean centre [mm] re^{i\alpha}, [/mm] r>1 and euclidean radius s>0.
Show that A is perpendicular to [mm] S^{1} [/mm] if and only if [mm] s=\wurzel{r²-1} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe Probleme beim Lösen obiger Aufgabe. Ich denke, dass ich weiss, wie man vorgehen muss, aber bekomme nichts gescheites heraus.
zunächst mal die Übersetzung:
sei [mm] S^{1}= [/mm] {z [mm] \in \IC [/mm] | |z|=1} der Einheitskreis in [mm] \IC. [/mm] sei A der euklidische Kreis in [mm] \IC [/mm] mit Zentrum [mm] re^{i\alpha}, [/mm] r>1 und euklidischem Radius s>0
Zeige, dass A nur dann orthogonal zu [mm] S^{1} [/mm] ist, wenn s= [mm] \wurzel{r²-1}
[/mm]
richtig?
Also meine Vorüberlegungen sind erst einmal folgende:
nach der eulerschen Formel: [mm] re^{i\alpha}=r(cos\alpha+isin\alpha)
[/mm]
und somit: [mm] re^{i\alpha}= \vektor{rcos\alpha \\ rsin\alpha}
[/mm]
da der Radius des euklidischen Kreises s betragen sollten müsste also die Parameterdarstellung des Kreises mit Zentrum [mm] re^{i\alpha} [/mm] lauten:
x= [mm] \vektor{rcos\alpha \\ rsin\alpha} [/mm] + [mm] \vektor{scos\beta \\ ssin\beta}
[/mm]
die Parameterdarstellung des komplexen Einheitskreises lautet entsprechend:
y= [mm] \vektor{cos\beta \\ sin\beta}
[/mm]
Nun ist doch der Winkel zwischen zwei Kurven definiert als der Winkel zwischen ihren Tangentialvektoren!?
sei T der Tangentialvektor von x und T* der Tangentialvektor von y, dann:
T= [mm] \vektor{-rsin\alpha \\ rcos\alpha} [/mm] + [mm] \vektor{-ssin\beta \\ scos\beta}
[/mm]
und
T*= [mm] \vektor{-sin\alpha \\ cos\alpha} [/mm]
Nun müsste ich zeigen, dass das Skalarprodukt <T,T*> gleich 0 ist.
also zzg: [mm] r(sin\alpha sin\beta [/mm] + [mm] cos\alpha cos\beta)=0
[/mm]
und selbst wenn meine Vorüberlegungen richtig sind hört es hier auf...
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke schon mal im Voraus und viele Grüße
Patrick
|
|
| |
|
Hallo Patrick,
in der Startgerade spitze, erst am Ende kommst Du ins Stolpern:
> Let [mm] S^{1}=\{z\in \IC\big|\ |z|=1\} [/mm] be the unit circle in [mm]\IC.[/mm]
> Let A be a euclidean circle in [mm]\IC[/mm] with euclidean centre
> [mm]re^{i\alpha},[/mm] r>1 and euclidean radius s>0.
>
> Show that A is perpendicular to [mm]S^{1}[/mm] if and only if
> [mm]s=\wurzel{r^2-1}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> habe Probleme beim Lösen obiger Aufgabe. Ich denke, dass
> ich weiss, wie man vorgehen muss, aber bekomme nichts
> gescheites heraus.
>
> zunächst mal die Übersetzung:
>
> sei [mm] S^{1}=\{z\in \IC\big|\ |z|=1\} [/mm] der Einheitskreis in [mm]\IC.[/mm]
> sei A der euklidische Kreis in [mm]\IC[/mm] mit Zentrum
> [mm]re^{i\alpha},[/mm] r>1 und euklidischem Radius s>0
>
> Zeige, dass A nur dann orthogonal zu [mm]S^{1}[/mm] ist, wenn s=
> [mm]\wurzel{r^2-1}[/mm]
>
> richtig?
Perfekt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") (Trotzdem ein Tipp zur mathematischen Übersetzung von "if and only if": im Deutschen ist hier "genau dann, ... wenn" gebräuchlich.)
> Also meine Vorüberlegungen sind erst einmal folgende:
>
> nach der eulerschen Formel:
> [mm]re^{i\alpha}=r(cos\alpha+isin\alpha)[/mm]
> und somit: [mm]re^{i\alpha}= \vektor{rcos\alpha \\ rsin\alpha}[/mm]
>
> da der Radius des euklidischen Kreises s betragen sollten
> müsste also die Parameterdarstellung des Kreises mit
> Zentrum [mm]re^{i\alpha}[/mm] lauten:
>
> x= [mm]\vektor{rcos\alpha \\ rsin\alpha}[/mm] + [mm]\vektor{scos\beta \\ ssin\beta}[/mm]
>
> die Parameterdarstellung des komplexen Einheitskreises
> lautet entsprechend:
>
> y= [mm]\vektor{cos\beta \\ sin\beta}[/mm]
1. Teil des Problems. Warum auch [mm] \beta [/mm] ? Gibt es einen Grund, die beiden Parameterdarstellungeb über gleichnamige Benennung von Winkeln zu koppeln?
Nimm [mm] \gamma, [/mm] und schon wird die Aufgabe klar.
> Nun ist doch der Winkel zwischen zwei Kurven definiert als
> der Winkel zwischen ihren Tangentialvektoren!? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> sei T der Tangentialvektor von x und T* der
> Tangentialvektor von y, dann:
>
> T= [mm]\vektor{-rsin\alpha \\ rcos\alpha}[/mm] + [mm]\vektor{-ssin\beta \\ scos\beta}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
2. Teil des Problems. Die Lage des Mittelpunkts des zweiten Kreises tut doch nichts zur Sache, was die Tangentialrichtung angeht!
> und
> T*= [mm]\vektor{-sin\alpha \\ cos\alpha}[/mm]
Wieder: Warum hier [mm] \alpha? [/mm] Weißt Du schon mehr über die Lage der Kreise und Schnittpunkte?
> Nun müsste ich zeigen, dass das Skalarprodukt <T,T*> gleich
> 0 ist.
>
> also zzg: [mm]r(sin\alpha sin\beta[/mm] + [mm]cos\alpha cos\beta)=0[/mm]
a) ...lohnt nicht mehr zu korrigieren. Nimm erst andere Winkelbezeichnungen und einen Tangentialvektor des euklidischen Kreises, der nicht mehr von seinem Mittelpunkt abhängt.
b) Selbst bei den von Dir vorgelegten Tangentialvektoren stimmt dieses Skalarprodukt nicht.
> und selbst wenn meine Vorüberlegungen richtig sind hört es
> hier auf...
Überarbeite mal Deinen Ansatz. Die Idee ist gut und führt zum Erfolg.
Übrigens kannst Du getrost die Untersuchung auf [mm] \alpha=0 [/mm] reduzieren, das vereinfacht die Sache erheblich! Aber auch dann sind die anzusetzenden Winkel in den beiden Kreisen nicht gleich. Mach mal eine Skizze. Mit [mm] \alpha=0 [/mm] kannst Du Dich übrigens auch auf nur einen Schnittpunkt beschränken, auch das ist eine Vereinfachung.
> Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke schon
> mal im Voraus und viele Grüße
>
> Patrick
Vorerst viel Erfolg - frag ruhig weiter, wenn Du mit diesen Hinweisen nicht weiterkommst.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Sa 07.03.2009 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
also mir ist klar, dass der Mittelpkt. des euklidischen Kreises nichts zur Tangentialrichtung zu tut. Im Prinzip ist er doch ohnehin als "konstant" anszusehen und verschwindet daher in der Ableitung, also im Tangentialvektor.
Mir ist allerdings nicht ganz klar warum sich die Winkel der Parameterdarstellungen unterscheiden können/sollen. Die Parameterdarstellungen müssen doch von der gleichen Variablen (hier also dem Winkel) abhängen, um an den entsprechenden Stellen überhaupt einen Winkel (jetzt den zwischen den Kurven) bestimmen zu können!?
Aber auch, wenn ich mit verschiedenen Winkeln rechne komme ich wieder auf das gleiche Skalarprodukt bis auf den Faktor vor der Klammer und damit nicht auf die Gleichheit dieses Skalarprodukts mit Null.
Wäre für weitere Hilfe dankbar. Grüße,
Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo Patrick,
> also mir ist klar, dass der Mittelpkt. des euklidischen
> Kreises nichts zur Tangentialrichtung zu tut. Im Prinzip
> ist er doch ohnehin als "konstant" anszusehen und
> verschwindet daher in der Ableitung, also im
> Tangentialvektor.
Warum ist er dann in Deinem Ansatz des Tangentialvektors enthalten?
> Mir ist allerdings nicht ganz klar warum sich die Winkel
> der Parameterdarstellungen unterscheiden können/sollen. Die
> Parameterdarstellungen müssen doch von der gleichen
> Variablen (hier also dem Winkel) abhängen, um an den
> entsprechenden Stellen überhaupt einen Winkel (jetzt den
> zwischen den Kurven) bestimmen zu können!?
Zeichne Dir mal zwei verschieden große Kreise, die sich schneiden. Verbinde einen der beiden Schnittpunkte mit den beiden Kreismittelpunkten. Wenn Du den gleichen Winkel ansetzt, dann müssten die beiden gerade gezeichneten Radien zueinander parallel liegen, so als wären die beiden Kreise mit ihren Radien synchron laufende Uhren (mit nur je einem Zeiger). Da würden sich die Zeiger doch nie berühren!
> Aber auch, wenn ich mit verschiedenen Winkeln rechne komme
> ich wieder auf das gleiche Skalarprodukt bis auf den Faktor
> vor der Klammer und damit nicht auf die Gleichheit dieses
> Skalarprodukts mit Null.
Wie das? Kannst Du das mal vorrechnen? Bei mir ist das nicht so.
> Wäre für weitere Hilfe dankbar. Grüße,
>
> Patrick
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:34 So 08.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Patrick
Wenn du ne skizze machst, die Schnittpunkte der Kreise mit den Mittelpunkten verbindest, dann muessen doch auch die Radien senkrecht stehen. und dann steht da einfach der Pythagoras.
Du gehst viel zu kompliziert vor. Dass die kreistangenten senkrecht zum Radius sind weisst du doch?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 So 08.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
ich hatte gehofft, Patrick käme mit einer Skizze selbst drauf... 
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
|
