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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 So 07.02.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Finden Sie alle komplexen Zahlen z; welche die Ungleichung
[mm] \left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le [/mm] 2
erfüllen. Skizzieren Sie die erhaltene Lösungsmenge in der Gaußschen Zahle-
nebene. |
ich habe erstmal versucht über z=x+iy, alles einsetzen und dann nach imaginärteil und realteil zu sortieren, aber dann würde die rechnung immer länger und ich bekam sehr lange terme, und am ende kam meiner meinung nach auch nichts vernünfiges raus.
[mm] \bruch{2x^2+4x+4y^2-4y}{2x^2+2y^2} [/mm] war dann der realteil
[mm] \bruch{2x^2-4x-4y}{2x^2+2y^2} [/mm] war der imaginärteil
und an der stelle dachte ich, dass man ganz anders an die aufgabe gehen müsste, kann mir ein helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist $|2iz+4| = |2i(z-2i)| = 2|z-2i|$ und $|(1+i)z| = [mm] \wurzel{2}|z|$
[/mm]
Somit:
$ [mm] \left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] |z-2i|=|z| $
So das sieht doch schon mal etwas freundlicher aus.
Wegen $|z-2i|=|z| [mm] \gdw [/mm] |z-2i|=|z-0| $ sind also alle Punkte z gesucht, die zum Punkt 2i den gleichen Abstand haben wie zum Punkt 0. Zeichne diese Punkte mal
Edit: es muß natürlich
$ [mm] \left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le [/mm] 2 [mm] \gdw |z-2i|\le|z| [/mm] $ lauten
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 08.02.2010 | | Autor: | johnyan |
sind alle z also auf der gerade, die durch i geht?
und diese umformung verstehe ich noch nicht ganz
$ [mm] \left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] |z-2i|=|z| $
bitte noch um erklärung
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Hallo johnyan!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> sind alle z also auf der gerade, die durch i geht?
...............und parallel zur reelen Achse ist...............
>
> und diese umformung verstehe ich noch nicht ganz
> [mm]\left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le 2 \gdw |z-2i|=|z|[/mm]
>
> bitte noch um erklärung
Hatee ich Dir doch schon gesagt: $ |2iz+4| = |2i(z-2i)| = 2|z-2i| $ und $ |(1+i)z| = [mm] \wurzel{2}|z| [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 08.02.2010 | | Autor: | johnyan |
ja, das mit parallel hab ich vergessen zu schreiben
also meine frage ist eher, ob das nicht
$ [mm] \left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le [/mm] 2 [mm] \gdw [/mm] |z-2i| [mm] \le [/mm] |z| $
also der abstand zu 2i kleiner gleich dem abstand zu 0,
heißen soll.
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Hallo John,
> ja, das mit parallel hab ich vergessen zu schreiben
>
> also meine frage ist eher, ob das nicht
> [mm]\left|\bruch{2iz+4}{(1+i)z}\right|^2 \le 2 \gdw |z-2i| \le |z|[/mm]
> also der abstand zu 2i kleiner gleich dem abstand zu 0,
> heißen soll.
Ja, da hast du recht.
Nichtsdestotrotz ist Freds Umformung mehr als hilfreich:
Setze nun $z=x+iy$ ein und löse die Ungleichung [mm] $|z-2i|\le|z|$ [/mm] auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mo 08.02.2010 | | Autor: | johnyan |
gut, die lösung ist ja dann nicht mehr schwer, y [mm] \ge [/mm] 1, also die ganze fläche über der gerade, die durch i geht und parallel zur reellen achse ist.
vielen dank an euch alle!
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