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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 28.10.2013 | | Autor: | nobodon |
Ich habe eine Frage zu einer eigentlich einfachen Aufgabe, die ich mir selbst gestellt habe:
Gilt
für alle ganzen zahlen n, für alle komplexe zahlen w,z:
$ | [mm] (z*w)^n [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] z*w|^n [/mm] $ ?
für alle natürliche Zahlen n müsste Gleichheit gelten
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Hallo nobodon,
schöne Idee.
> Ich habe eine Frage zu einer eigentlich einfachen Aufgabe,
> die ich mir selbst gestellt habe:
> Gilt
> für alle ganzen zahlen n, für alle komplexe zahlen w,z:
> [mm]| (z*w)^n | \le | z*w|^n[/mm] ?
>
> für alle natürliche Zahlen n müsste Gleichheit gelten
Tja, was willst Du denn jetzt?
Zeig es. Der Ansatz ist nicht schwierig, aber der Ausgang des Experiments ist trotzdem nicht so leicht vorherzusehen.
Kleiner Tipp: Du kannst oBdA $v:=zw$ definieren.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 28.10.2013 | | Autor: | nobodon |
okay ich habe die aufgbae mittels der eulergleichung gelöst.
Die Aussage gilt für alle reelle Zahlen und es gilt Gleichheit:
$ [mm] |z^r| [/mm] = | [mm] |z|^r*\exp(i*r)| [/mm] = [mm] |z|^r,
[/mm]
okay wie schaut das mit komplexen zahlen aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Di 29.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay ich habe die aufgbae mittels der eulergleichung
> gelöst.
> Die Aussage gilt für alle reelle Zahlen und es gilt
> Gleichheit:
>
> $ [mm]|z^r|[/mm] = | [mm]|z|^r*\exp(i*r)|[/mm] = [mm]|z|^r,[/mm]
da ist aber noch ein Fehler drin: [mm] $z=|z|\exp(i \blue{\phi})$ [/mm] mit einem geeigneten [mm] $\phi \in \IR$
[/mm]
(das [mm] $\phi$ [/mm] hast Du unterschlagen)
(oder auch "nur" [mm] $\phi \in [0,2\pi)\,.$) [/mm] Außerdem musst Du da natürlich zumindest Zusatzwissen
anwenden!
Warum machst Du das nicht "einfach" so (solange $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist, ist das alles doch
sogar sehr elementar):
[mm] $|z^n|=|z*z^{n-1}|=|z|*|z^{n-1}|=|z|*|z|^{n-1}=|z|^n\,.$
[/mm]
Warum? Weil man für [mm] $w=w_x+iw_y$ [/mm] und [mm] $z=z_x+iz_y$ [/mm] beide in [mm] $\IR +i\IR \cong \IC$
[/mm]
gelegen einfach erstmal nachrechnen kann:
[mm] $|w*z|=|w|*|z|\,.$
[/mm]
Was oben also "eigentlich" steht, ist eine Art Induktionsbeweis. (Strenggenommen
steht da nur der Induktionsschritt eines Induktionsbeweises - Du kannst aber
gerne auch einen sauberen Induktionsbeweis daraus machen.) Übrigens
gibt es auch eine Alternative (die mir aber zu rechenaufwendig erscheint):
Schreibe [mm] $z^n=(z_x+iz_y)^n$ [/mm] mal aus (allgemeine bin. Formel), sortiere nach Real- und
Imaginärteil und überlege Dir dann, wie [mm] $|z^n|$ [/mm] aussieht.
Dann:
Mit [mm] $|z|^n=\left(\sqrt{{z_x}^2+{z_y}^2}\right)^n=\sqrt{({z_x}^2+{z_y}^2)^n}$ [/mm] vergleichen.
(Einfacher bzw. übersichtlicher: Du kannst auch einfach [mm] $|z^n|^2$ [/mm] mit [mm] $(|z|^n)^2$ [/mm] vergleichen!)
P.S. Keine Sorge: Bei [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] handelt es sich stets um die aus einer Zahl
[mm] $\ge 0\,,$ [/mm] und nur entsprechende Regeln, die da bekannt sind, finden hierbei
Anwendung!
P.P.S. Wenn Du magst:
![[]](/images/popup.gif) Stöbere in Kapitel 7
Ergänzend: Wenn man für $z [mm] \in \IC$ [/mm] nun (stets) [mm] $|z^n|=|z|^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] weiß,
dann ist es auch keine Kunst, daraus schon
[mm] $|z^n|=|z|^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IZ$
[/mm]
zu folgern: Nur für ganze $n < [mm] 0\,$ [/mm] ist hier noch was zu zeigen, aber:
Für $n [mm] \in -\,\IN$ [/mm] folgt dann
[mm] $1=|1|=|z^{n}*z^{-n}|=|z^n|*|z^{-n}|=|z^n|*{|z|}^{-n}$ [/mm] (beachte $(-n) [mm] \in \IN$),
[/mm]
also [mm] $|z^n|=1/|z|^{-n}=|z|^n\,.$
[/mm]
(Hinweis: Beachte, dass [mm] $|z|\,$ [/mm] und $1/|z| [mm] \in \IR$ [/mm] sind - und nebenbei: Den
(einfachen) Sonderfall $|z|=0$ [mm] ($\iff [/mm] z=0$) sollte man, strenggenommen, separat
behandeln - zumindest, wenn man [mm] $1/|z|\,$ [/mm] oder sowas schreibt!)
Gruß,
Marcel
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Hi,
> Ich habe eine Frage zu einer eigentlich einfachen Aufgabe,
> die ich mir selbst gestellt habe:
> Gilt
> für alle ganzen zahlen n, für alle komplexe zahlen w,z:
> [mm]| (z*w)^n | \le | z*w|^n[/mm] ?
Man sieht ja eigentlich sofort für [mm] n\in\IN [/mm] und x=z*w:
[mm] |x^n|=|\underbrace{x*x*...*x}_{n-mal}|=\underbrace{|x|*|x|*...*|x|}_{n-mal}=|x|^n
[/mm]
Für negative ganze n ist die Argumentation nahezu gleich.
>
> für alle natürliche Zahlen n müsste Gleichheit gelten
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