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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $r\in\IR_{+}$ und $w\in\IC$. Dann bezeichnet man die Menge $K:=\left\{z\in\IC~|~|z-w|=r\right\}$ als Kreis in $\IC$ mit Mittelpunkt $w$ und Radius $r$.
Nun seien $a,c\in\IR$ und $b\in\IC$ mit $b\overline{b}>ac$ und $M:=\left\{z\in\IC~|~az\overline{z} + 2\Re\left(bz\right)+c=0 \right\}$. Zeigen Sie:
a) Ist $a\not=0$, dann ist $M$ ein Kreis in $\IC$.
b) Ist $a=0$, dann ist $M$ eine Gerade in $\IC$. |
Hi,
hier meine Ansätze.
a) Seien $b:=p+iq$ und $z:=x+iy$. Dann ist:
$M:=\left\{z\in\IC~|~az\overline{z} + 2\Re\left(bz\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~ax^2+ay^2+2\left(px-yp\right)+c=0\right\}$
Dann hab ich das so umgeformt, dass ich die Kreisgleichung aus $\IR$ vorliegen habe:
$M:=\left\{z\in\IC~|~\left(x+\frac{p}{a}\right)^2+\left(y-\frac{q}{a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{p}{a}\right)^2}+\left(\frac{q}{a}\right)^2\right\}$
Demnach wäre der Mittelpunkt $M\left(-\frac{p}{a}~|~\frac{a}{q}\right)$ und der Radius $r=\sqrt{-\frac{c}{a}+\left(\frac{p}{a}\right)^2+\left(\frac{q}{a}\right)^2\right\}}$.
Der Radius ist definiert, wenn $-\frac{c}{a}+\left(\frac{p}{a}\right)^2}+\left(\frac{q}{a}\right)^2\right\}>0~~\gdw~~p^2+q^2>ac$.
Das würde ja genau zu der Nebenbedingung passen!
Oder ist das der völlig falsche Weg?
Stefan.
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Hallo Stefan-auchLotti,
> Es seien [mm]r\in\IR_{+}[/mm] und [mm]w\in\IC[/mm]. Dann bezeichnet man die
> Menge [mm]K:=\left\{z\in\IC~|~|z-w|=r\right\}[/mm] als Kreis in [mm]\IC[/mm]
> mit Mittelpunkt [mm]w[/mm] und Radius [mm]r[/mm].
>
> Nun seien [mm]a,c\in\IR[/mm] und [mm]b\in\IC[/mm] mit [mm]b\overline{b}>ac[/mm] und
> [mm]M:=\left\{z\in\IC~|~az\overline{z} + 2\Re\left(bz\right)+c=0 \right\}[/mm].
> Zeigen Sie:
>
> a) Ist [mm]a\not=0[/mm], dann ist [mm]M[/mm] ein Kreis in [mm]\IC[/mm].
>
> b) Ist [mm]a=0[/mm], dann ist [mm]M[/mm] eine Gerade in [mm]\IC[/mm].
> Hi,
>
> hier meine Ansätze.
>
> a) Seien [mm]b:=p+iq[/mm] und [mm]z:=x+iy[/mm]. Dann ist:
>
> [mm]M:=\left\{z\in\IC~|~az\overline{z} + 2\Re\left(bz\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~ax^2+ay^2+2\left(px-yp\right)+c=0\right\}[/mm]
Hier hast Du Dich wohl verschrieben:
[mm]M:=\left\{z\in\IC~|~az\overline{z} + 2\Re\left(bz\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~ax^2+ay^2+2\left(px-y\red{q}\right)+c=0\right\}[/mm]
>
> Dann hab ich das so umgeformt, dass ich die Kreisgleichung
> aus [mm]\IR[/mm] vorliegen habe:
>
> [mm]M:=\left\{z\in\IC~|~\left(x+\frac{p}{a}\right)^2+\left(y-\frac{q}{a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{p}{a}\right)^2}+\left(\frac{q}{a}\right)^2\right\}[/mm]
>
>
> Demnach wäre der Mittelpunkt
> [mm]M\left(-\frac{p}{a}~|~\frac{a}{q}\right)[/mm] und der Radius
> [mm]r=\sqrt{-\frac{c}{a}+\left(\frac{p}{a}\right)^2+\left(\frac{q}{a}\right)^2\right\}}[/mm].
>
> Der Radius ist definiert, wenn
> [mm]-\frac{c}{a}+\left(\frac{p}{a}\right)^2}+\left(\frac{q}{a}\right)^2\right\}>0~~\gdw~~p^2+q^2>ac[/mm].
>
> Das würde ja genau zu der Nebenbedingung passen!
>
> Oder ist das der völlig falsche Weg?
Der Weg ist richtig und gut.
>
> Stefan.
Gruss
MathePower
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Ja, danke für die Bestätigung!
Bei der b) soll ich außerdem $M$ als Gerade in [mm] $\IC$ [/mm] gemäß der Definition [mm] $\left\{z\in\IC~|~z=xw+z_{0}~\text{mit}~ x\in\IR\right\};z_{0},w\in\IC,w\not=0$ [/mm] darstellen.
Es gilt dann ja [mm] $M:=\left\{z\in\IC~|~2\Re\left(bz\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~2\left(px-yp\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~y=\frac{p}{q}x+\frac{c}{2q}\right\}$
[/mm]
Hier bin ich ideenlos, was muss ich da machen?
Stefan.
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Hallo Stefan-auchLotti,
> Ja, danke für die Bestätigung!
>
> Bei der b) soll ich außerdem [mm]M[/mm] als Gerade in [mm]\IC[/mm] gemäß
> der Definition [mm]\left\{z\in\IC~|~z=xw+z_{0}~\text{mit}~ x\in\IR\right\};z_{0},w\in\IC,w\not=0[/mm]
> darstellen.
>
> Es gilt dann ja
> [mm]M:=\left\{z\in\IC~|~2\Re\left(bz\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~2\left(px-yp\right)+c=0\right\}~~\gdw~~M:=\left\{z\in\IC~|~y=\frac{p}{q}x+\frac{c}{2q}\right\}[/mm]
>
> Hier bin ich ideenlos, was muss ich da machen?
Prüfe, unter welchen Voraussetzungen die Gleichung
[mm]2\left(px-yq\right)+c=0[/mm]
eine Gerade darstellt.
>
> Stefan.
Gruss
MathePower
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Na ja, die Voraussetzung ist doch, dass [mm] px\not=qy\gdw\frac{p}{q}\not=\frac{y}{x} [/mm] und [mm] b\overline{b}>0 [/mm] gilt ja sowieso immer. Doch was sagt mir das?
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Hallo Stefan-auchLotti,
> Na ja, die Voraussetzung ist doch, dass
> [mm]px\not=qy\gdw\frac{p}{q}\not=\frac{y}{x}[/mm] und
> [mm]b\overline{b}>0[/mm] gilt ja sowieso immer. Doch was sagt mir
> das?
Nun, nach Deiner Definiton ist [mm]b*\overline{b}>0[/mm]
äquivalent mit p>0 oder q>0.
Damit kann die Gleichung
[mm]2*\left(p*x-q*y\right)+c=0[/mm]
eindeutig aufgelöst werden, und stellt somit eine Gerade dar.
Gruss
MathePower
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