komplexere Extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 09.08.2007 | | Autor: | Excel |
Ich komme mit zwei Aufgaben nicht klar. Kann mir da jemand helfen
| Aufgabe 1 | | Einem Viertelkreis mit dem Radius r=5cm wird ein Dreieck OPQ einbeschrieben. für welchen Winkel alpha wird der Inhalt des Dreiecks maximal? |
| Aufgabe 2 | | Aus einem 40cm langen und 20cm breiten Karton soll durch Herausschneiden von 6 Quadraten eine Schachtel hergestellt werden, deren Deckel auf 3 Seiten übergreift. Wie gross sind die Quadrate zu wählen, damit das Volumen der Schachtel möglichst gross wird? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Excel,
> 1. Aufgabe:
> Einem Viertelkreis mit dem Radius r=5cm wird ein Dreieck
> OPQ einbeschrieben. für welchen Winkel alpha wird der
> Inhalt des Dreiecks maximal?
Die Fläche eines Dreiecks ist:
[mm]F_D = \frac{c\cdot{h_c}}{2}[/mm]
Dabei sei [mm]c[/mm] die Hypotenuse des Dreiecks und [mm]h_c[/mm] die dazugehörige Höhe. Jetzt gilt hier nach Pythagoras:
[mm]h_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = r^2[/mm]
und nach dem Kosinussatz
[mm]c^2 = r^2 + r^2 - 2\cdot{r}\cdot{r}\cos\alpha[/mm]
Forme um, und setze alles in die Flächenformel ein. Da du r kennst, erhälst du die Funktion [mm]F_D(\alpha)[/mm]. Im Diskussionsthema hast du ja bereits angegeben, was danach zu tun ist.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 09.08.2007 | | Autor: | Excel |
Vielen Dank.
Bin mir nur immernoch unsicher was ich jetzt noch machen muss.
Ich habe jetzt nach hc umgeformt. Ist das richtig?
hc=r-c/2??
ich brauch doch nicht mehr das andere nach c umformen, oder?
Bitte um Hilfe
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
> Ich habe jetzt nach hc umgeformt. Ist das richtig?
> hc=r-c/2??
> ich brauch doch nicht mehr das andere nach c umformen,
> oder?
Du suchst doch die Funktion, in der deine Fläche vom Winkel Alpha abhängig ist, denn du sollst ja den Winkel bestimmen, für den das Dreieck am größten wird (oder am kleinsten? Habs nicht mehr im kopf)
Also ersetzt du alles, was mit h oder c zu tun hat, in deiner Flächenformel durch die Ausdrücke, wo nur noch r und Alpha drinne vorkommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 09.08.2007 | | Autor: | Excel |
sorry, aber verstehe ich immernoch nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 09.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Also es gilt ja:
[mm] F=\bruch{1}{2}*c*h_{c}
[/mm]
Leider kennst du weder c noch [mm] h_{c}.
[/mm]
Du kennst nur r und suchst den Winkel, so dass das Dreieck einen Extremen Flächeninhalt besitzt.
Die Bedingungen hat Karl dir ja gegeben.
Also:
[mm] F=\bruch{1}{2}*c*h_{c}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}c*\wurzel{r²-\bruch{c²}{4}}
[/mm]
Damit hängt es nur noch von c ab, was aber nicht gesucht ist, sondern der Winkel [mm] \alpha.
[/mm]
Also musst du mit dem Kosinussatz c durch einen Term mit r und [mm] \alpha [/mm] ersetzen:
Somit ergibt sich:
[mm] F=\bruch{1}{2}c*\wurzel{r²-\bruch{c²}{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\wurzel{2r²-2r²cos(\alpha)}*\wurzel{r²-\bruch{2r²-2r²cos(\alpha)}{4}}
[/mm]
Diesen Term kannst du jetzt noch ein wenig vereinfachen, und dann die Extremstellen in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] bestimmen, wozu du die Ableitung [mm] F'(\alpha) [/mm] brauchst.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 09.08.2007 | | Autor: | Excel |
Achsooo, jetzt raff ich es. Vielen Dank!! Wenn ich mir die Schritte anschaue, dann verstehe ich es. Ich brauch immer nen Anfang.
Wäre die Vereinfachung so:
F= r- r*cos(alpha) * [mm] r^2 [/mm] - [mm] r^2* [/mm] cos (alpha) / 2 ???
|
|
|
| |
|
Hallo Excel,
ich bekomme da was anderes und viel einfacheres raus 
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2r²-2r²cos(\alpha)}\cdot{}\wurzel{r²-\bruch{2r²-2r²cos(\alpha)}{4}}=\bruch{1}{2}\wurzel{2r²\cdot{}\left(1-cos(\alpha)\right)}\cdot{}\wurzel{\bruch{4r²}{4}-\bruch{2r²-2r²cos(\alpha)}{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}r\wurzel{1-cos(\alpha)}\cdot{}\wurzel{\bruch{4r^2-2r²+2r²cos(\alpha)}{4}}=\bruch{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}r\wurzel{1-cos(\alpha)}\cdot{}\wurzel{\bruch{2r^2\cdot{}\left(1+cos(\alpha)\right)}{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}r\wurzel{1-cos(\alpha)}\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}r\wurzel{1+cos(\alpha)}=\frac{1}{2}r^2\sqrt{(1-cos(\alpha))(1+cos(\alpha))}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}r^2\sqrt{1-cos^2(\alpha)}=\frac{1}{2}r^2\sqrt{sin^2(\alpha)}=\frac{1}{2}r^2\sin(\alpha)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Excel |
vielen vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 12.08.2007 | | Autor: | Excel |
also das ergebniss von der vereinfachung ist:
[mm] F=1/2*r^2*\sin(\alpha) [/mm] .
Für welchen winkel [mm] \alpha [/mm] wird der inhalt des dreiecks maximal??
Bin zurzeit total durcheinander. Bitte um Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Excel!
Du hast also eine Funktion in Abhängigkeit von [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $F(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*r^2*\sin(\alpha)$ [/mm] .
Das kannst du nun mittels Differenzialrechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) bestimmen. Oder Du überlegst Dir, für welchen Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] die Sinusfunktion ihren maximalen wert [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ +1$ annimmt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Fr 10.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
Zu Aufgabe 2.
Wenn ich das richtig verstehe, soll das eine Schachtel ohne Deckel ergeben.
(Ich nenne die Seiten der Quadrate mal x)
Das Volumen wäre dann V=a*b*x
a und b sind dabei die Seiten des Grundrechtecks.
Dafür muss jeweils an beiden Seiten das Stück für das Quadrat abgezogen werden, also:
a=40-2x
b=20-2x.
Somit ergibt sich die Volumenformel:
V(x)=(20-2x)(40-2x)x, wovon du jetzt das Maximum suchst.
Marius
|
|
|
|
