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Hi,
ich hänge grade an einem Integral fest, dass ich mit dem Residuensatz ausrechnen will. Habe auch die Lösung dazu, bekomme das aber nicht so hin. Es soll [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx} [/mm] berechnet werden. [mm] f(z)=\frac{x}{1+x^4}=\frac{g(x)}{h(x)} [/mm] , die Nullstellen: [mm] h(z)=1+z^4=0 [/mm] <=> [mm] z^4=-1 [/mm] , wegen [mm] e^z=-1 [/mm] für [mm] z=2\pi*in+i\pi [/mm] habe ich
als Nullstellen raus [mm] z_k=\e^{\frac{(2k+1)\pi*i}{4}} [/mm] für k=1,2,3,4 , also
[mm] z_1=e^{\frac{3\pi*i}{4}}, z_2=e^{\frac{5\pi*i}{4}} z_3=e^{\frac{7\pi*i}{4}}, z_4=e^{\frac{9\pi*i}{4}}. [/mm] Statt [mm] z_4=e^{\frac{9\pi*i}{4}} [/mm] ist in der Musterlösung [mm] e^{\frac{\pi*i}{4}}=z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] ist dort mein [mm] z_1 [/mm] usw. Aber das ist doch nicht das selbe? Was stimmt dann jetzt?
Als nächstes muss ich dann schauen, welche davon in der oberen Hälfte liegen. Wie sehe ich dass hier an der Stelle? Die liegen doch alle auf dem Einheitskreis, aber welche in der oberen Hälfte welche in der unteren Hälfte? In der Musterlösung wären das [mm] e^{\frac{\pi*i}{4}} [/mm] und [mm] e^{\frac{3\pi*i}{4}}, [/mm] bei mir [mm] e^{\frac{3\pi*i}{4}} [/mm] und [mm] e^{\frac{9\pi*i}{4}} [/mm] oder? Wäre super, wenn mir jemand erstmal bis hierhin weiterhelfen könnte, damit ich dann weiter machen kann. Es soll [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] rauskommen. Lg
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Hallo Schachtel5,
> Hi,
> ich hänge grade an einem Integral fest, dass ich mit dem
> Residuensatz ausrechnen will. Habe auch die Lösung dazu,
> bekomme das aber nicht so hin. Es soll
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx}[/mm] berechnet
> werden. [mm]f(z)=\frac{x}{1+x^4}=\frac{g(x)}{h(x)}[/mm] , die
> Nullstellen: [mm]h(z)=1+z^4=0[/mm] <=> [mm]z^4=-1[/mm] , wegen [mm]e^z=-1[/mm] für
> [mm]z=2\pi*in+i\pi[/mm] habe ich
> als Nullstellen raus [mm]z_k=\e^{\frac{(2k+1)\pi*i}{4}}[/mm] für
> k=1,2,3,4 , also
> [mm]z_1=e^{\frac{3\pi*i}{4}}, z_2=e^{\frac{5\pi*i}{4}} z_3=e^{\frac{7\pi*i}{4}}, z_4=e^{\frac{9\pi*i}{4}}.[/mm]
> Statt [mm]z_4=e^{\frac{9\pi*i}{4}}[/mm] ist in der Musterlösung
> [mm]e^{\frac{\pi*i}{4}}=z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] ist dort mein [mm]z_1[/mm] usw. Aber
> das ist doch nicht das selbe? Was stimmt dann jetzt?
Diese Nullstellen sind richtig:
[mm]z_k=e^{\frac{(2k+1)\pi*i}{4}}[/mm]
> Als nächstes muss ich dann schauen, welche davon in der
> oberen Hälfte liegen. Wie sehe ich dass hier an der
> Stelle? Die liegen doch alle auf dem Einheitskreis, aber
> welche in der oberen Hälfte welche in der unteren Hälfte?
Berechne den Imaginärteil der Nullstellen.
> In der Musterlösung wären das [mm]e^{\frac{\pi*i}{4}}[/mm] und
> [mm]e^{\frac{3\pi*i}{4}},[/mm] bei mir [mm]e^{\frac{3\pi*i}{4}}[/mm] und
> [mm]e^{\frac{9\pi*i}{4}}[/mm] oder? Wäre super, wenn mir jemand
Ja, das ist richtig.
> erstmal bis hierhin weiterhelfen könnte, damit ich dann
> weiter machen kann. Es soll [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] rauskommen. Lg
Beachte hier, daß der Integrand punktsymmetrisch ist.
Gruss
MathePower
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ah okay danke, ich habe jetzt für [mm] z_1=e^{\frac{3\pi\cdot{}i}{4}}, z_2=e^{\frac{5\pi\cdot{}i}{4}} z_3=e^{\frac{7\pi\cdot{}i}{4}}, z_4=e^{\frac{9\pi\cdot{}i}{4}} [/mm] , zb für [mm] z_1=cos(\frac{3\pi}{4})+isin((\frac{3\pi}{4}) =-\frac{1}{\sqrt(2)}+i\frac{1}{\sqrt(2)} [/mm] raus und das gleiche mit den anderen auch gemacht, [mm] z_1, z_4 [/mm] haben positive Imaginärteile. Aber jetzt stecke ich wieder fest. Ich will jetzt das Residuum an den Stellen berechnen und dachte, da [mm] f(z)=\frac{z}{1+z^4}=\frac{g(z)}{h(z)} [/mm] für h(z) die [mm] z_k [/mm] k=1,4 einfache Nullstellen sind, dass ich die Formel [mm] Res_{z=z_k}f(z)=\frac{g(z)}{h'(z)}=\frac{1}{z^2} [/mm] benutze.
Dann hätte ich raus: [mm] Res_{z=z_1}f(z)=i [/mm] und [mm] Res_{z=z_4}f(z)=-i [/mm] , was sich aber wegheben würde. Was ist falsch, muss ich hier schon die Punktsymmetrie beachten und wie genau, also dass man i+i rechnen muss?
Lg
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Hallo Schachtel5,
> ah okay danke, ich habe jetzt für
> [mm]z_1=e^{\frac{3\pi\cdot{}i}{4}}, z_2=e^{\frac{5\pi\cdot{}i}{4}} z_3=e^{\frac{7\pi\cdot{}i}{4}}, z_4=e^{\frac{9\pi\cdot{}i}{4}}[/mm]
> , zb für [mm]z_1=cos(\frac{3\pi}{4})+isin((\frac{3\pi}{4}) =-\frac{1}{\sqrt(2)}+i\frac{1}{\sqrt(2)}[/mm]
> raus und das gleiche mit den anderen auch gemacht, [mm]z_1, z_4[/mm]
> haben positive Imaginärteile. Aber jetzt stecke ich wieder
> fest. Ich will jetzt das Residuum an den Stellen berechnen
> und dachte, da [mm]f(z)=\frac{z}{1+z^4}=\frac{g(z)}{h(z)}[/mm] für
> h(z) die [mm]z_k[/mm] k=1,4 einfache Nullstellen sind, dass ich die
> Formel [mm]Res_{z=z_k}f(z)=\frac{g(z)}{h'(z)}=\frac{1}{z^2}[/mm]
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]Res_{z=z_k}f(z)=\frac{g(z)}{h'(z)}=\frac{1}{\red{4}z^{2}}[/mm]
> benutze.
> Dann hätte ich raus: [mm]Res_{z=z_1}f(z)=i[/mm] und
> [mm]Res_{z=z_4}f(z)=-i[/mm] , was sich aber wegheben würde. Was ist
Das ist nicht verwunderlich, da der Integrand
punktsymmetrisch (ungerade Funktion) ist. Das
ergibt integriert eine gerade Funktion.Und da
das Integrationsintervall symmetrische Grenzen
aufweist, ergibt sich 0.
> falsch, muss ich hier schon die Punktsymmetrie beachten und
> wie genau, also dass man i+i rechnen muss?
Ja.
> Lg
Gruss
MathePower
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Achso, danke. Aber irgentwie bekomme ich [mm] -\pi [/mm] als Ergebnis raus... Das ist nicht richtig? Weil: [mm] f(z)=\frac{z}{1+z^4}=\frac{g(z)}{h(z)} [/mm] deg(h)=4>deg(g)=1 und [mm] h(x)\not=0 \forall x\in \IR [/mm] => [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx}=2\pi*i\summe_{h(z_k)=0, Im(z_k)>0}^{}Res_{z=z_k}f(z)=2\pi*i[\frac{i}{{4}}+\frac{i}{{4}} ]=2\pi*i\frac{i}{{2}}=-\pi [/mm]
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Hallo Schachtel5,
> Achso, danke. Aber irgentwie bekomme ich [mm]-\pi[/mm] als Ergebnis
> raus... Das ist nicht richtig? Weil:
> [mm]f(z)=\frac{z}{1+z^4}=\frac{g(z)}{h(z)}[/mm] deg(h)=4>deg(g)=1
> und [mm]h(x)\not=0 \forall x\in \IR[/mm] =>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx}=2\pi*i\summe_{h(z_k)=0, Im(z_k)>0}^{}Res_{z=z_k}f(z)=2\pi*i[\frac{i}{{4}}+\frac{i}{{4}} ]=2\pi*i\frac{i}{{2}}=-\pi[/mm]
>
Zunächst ist doch
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx}=2*\integral_{0}^{\infty}{\frac{x}{1+x^4} dx}=2\pi*i\summe_{h(z_k)=0, Re(z_k)>0,Im(z_k)>0}^{}Res_{z=z_k}f(z)[/mm]
Weshalb jetzt nur die Nullstelle berücksichtigt wird, deren
Real- und Imaginärteil größer 0 ist, liegt möglicherweise
am Integrationsgebiet.
Gruss
MathePower
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hmm achso danke. Ich wüsste mal gern genau, warum man jetzt auf einmal auch nur Singularitäten mit positivem Realteil betrachten darf. Jedenfalls kommt da schonmal [mm] -\frac{\pi}{2} [/mm] raus, außer das Minus passt es ja dann.
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Hallo Schachtel5,
> hmm achso danke. Ich wüsste mal gern genau, warum man
> jetzt auf einmal auch nur Singularitäten mit positivem
> Realteil betrachten darf. Jedenfalls kommt da schonmal
> [mm]-\frac{\pi}{2}[/mm] raus, außer das Minus passt es ja dann.
Bildest Du Dir einen geschlossenen Weg,
der den gesamten ersten Quadranten umfasst,
so werden lautet Residuensatz nur die Singularitäten
berücksichtigt, die innerhalb des Weges liegen.
z.B.
[mm]\gamma_{1}\left(t\right)=\pmat{t \\ 0}, \ 0 \le t \le R[/mm]
[mm]\gamma_{2}\left(t\right)=\pmat{R*\cos\left(t\right) \\ R*\sin\left(t\right)}, \ 0 \le t \le \bruch{\pi}{2}[/mm]
[mm]\gamma_{3}\left(t\right)=\pmat{0 \\ R-t}, \ 0 \le t \le R[/mm]
,wobei R der Radius des Viertelkreises ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 27.05.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
achso, ich verstehe das jetzt. Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
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