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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals
[mm] \integral_{|z-1|=e}{\frac{z^5+5z^3+4z}{1-e^{2 \pi z}} dz} [/mm] |
Hallo, ich habe die Singularitäten soweit sowohl vom Zähler als auch vom Nenner ermittelt.
[mm] \integral_{|z-1|=e}{\frac{z^5+5z^3+4z}{1-e^{2 \pi z}} dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z-1|=e}{\frac{z\cdot(z-i)\cdot(z+i)\cdot(z-2i)\cdot(z+2i)}{1-e^{2 \pi i k}} dz},\,\, \(k \in \mathbb{Z}\)
[/mm]
Man sieht, dass innerhalb des Gebietes die folgenden Singularitäten des Nenners liegen: [mm] z_{0}= \(i k\), [/mm] für [mm] \(k \in \{-1,0,1,2\}\) [/mm] sind das zugleich auch alle hebbare Singularitäten, so dass das Residum verschwindet und somit auch der Wert des Integrals zu Null wird.
Liege ich damit richtig?
Wäre nett, wenn jemand für den Fall es bestätigen könnte.
Vielen Dank voraus!
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lemma_01,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals
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> [mm]\integral_{|z-1|=e}{\frac{z^5+5z^3+4z}{1-e^{2 \pi z}} dz}[/mm]
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> Hallo, ich habe die Singularitäten soweit sowohl vom
> Zähler als auch vom Nenner ermittelt.
>
> [mm]\integral_{|z-1|=e}{\frac{z^5+5z^3+4z}{1-e^{2 \pi z}} dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{|z-1|=e}{\frac{z\cdot(z-i)\cdot(z+i)\cdot(z-2i)\cdot(z+2i)}{1-e^{2 \pi i k}} dz},\,\, \(k \in \mathbb{Z}\)[/mm]
>
> Man sieht, dass innerhalb des Gebietes die folgenden
> Singularitäten des Nenners liegen: [mm]z_{0}= \(i k\),[/mm] für
> [mm]\(k \in \{-1,0,1,2\}\)[/mm] sind das zugleich auch alle hebbare
Hier muss es doch lauten: [mm]\(k \in \{\blue{-2},-1,0,1,2\}\)[/mm]
> Singularitäten, so dass das Residum verschwindet und somit
> auch der Wert des Integrals zu Null wird.
> Liege ich damit richtig?
Ja, damit liegst Du richtig.
> Wäre nett, wenn jemand für den Fall es bestätigen
> könnte.
> Vielen Dank voraus!
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
Hi, ja stimmt, die -2 gehört auch noch dazu.
Vielen Dank für deine Antwort!
Grüße Lemma_01
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 So 24.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals
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> [mm]\integral_{|z-1|=e}{\frac{z^5+5z^3+4z}{1-e^{2 \pi z}} dz}[/mm]
>
> Hallo, ich habe die Singularitäten soweit sowohl vom
> Zähler als auch vom Nenner ermittelt.
Du meinst wohl die Nullstellen von Zähler und Nenner.
Die Nullstellen vom Zähler sind keine isolierten Singularitäten !
>
> [mm]\integral_{|z-1|=e}{\frac{z^5+5z^3+4z}{1-e^{2 \pi z}} dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{|z-1|=e}{\frac{z\cdot(z-i)\cdot(z+i)\cdot(z-2i)\cdot(z+2i)}{1-e^{2 \pi i k}} dz},\,\, \(k \in \mathbb{Z}\)[/mm]
So kannst Du das nicht schreiben !
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> Man sieht, dass innerhalb des Gebietes die folgenden
> Singularitäten des Nenners liegen: [mm]z_{0}= \(i k\),[/mm] für
> [mm]\(k \in \{-1,0,1,2\}\)[/mm] sind das zugleich auch alle hebbare
> Singularitäten, so dass das Residum verschwindet und somit
> auch der Wert des Integrals zu Null wird.
> Liege ich damit richtig?
Das Du k=-2 nicht berücksichtigt hast, hat man Dir schon gesagt.
FRED
> Wäre nett, wenn jemand für den Fall es bestätigen
> könnte.
> Vielen Dank voraus!
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 So 24.02.2013 | | Autor: | Lemma_01 |
Klaro, das war nicht sauber ausgedrückt. Natürlich meine ich mit den Singularitäten die NS des Nenners.
Danke für den Hinweis!
Grüße
Lemma_01
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